Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59149 / 39647
↖ ↑ ↗
← N 57.752541°
W 17.542420°		 ← 162.97 m → N 57.752541°
W 17.539673°		 →
↑
162.97 m
↓
↑
162.97 m
↓
N 57.751076°
W 17.542420°		 ← 162.97 m →
26 559 m²		 N 57.751076°
W 17.539673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451274871826172 y=0.302486419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451274871826172 × 217)
    floor (0.451274871826172 × 131072)
    floor (59149.5)     		tx = 59149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302486419677734 × 217)
    floor (0.302486419677734 × 131072)
    floor (39647.5)     		ty = 39647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59149 / 39647 ti = "17/59149/39647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59149/39647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59149 ÷ 217
    59149 ÷ 131072     		x = 0.451271057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39647 ÷ 217
    39647 ÷ 131072     		y = 0.302482604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451271057128906 × 2 - 1) × π
    -0.0974578857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30617298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302482604980469 × 2 - 1) × π
    0.395034790039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.24103839426363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30617298} λ = -0.30617298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24103839426363))-π/2
    2×atan(3.4592036176363)-π/2
    2×1.28938416388253-π/2
    2.57876832776506-1.57079632675     		φ = 1.00797200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30617298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.542420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00797200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.752541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59149 KachelY 39647 -0.30617298 1.00797200 -17.542420 57.752541
    Oben rechts KachelX + 1 59150 KachelY 39647 -0.30612504 1.00797200 -17.539673 57.752541
    Unten links KachelX 59149 KachelY + 1 39648 -0.30617298 1.00794642 -17.542420 57.751076
    Unten rechts KachelX + 1 59150 KachelY + 1 39648 -0.30612504 1.00794642 -17.539673 57.751076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00797200-1.00794642) × R
    2.55800000001916e-05 × 6371000     		dl = 162.97018000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00797200-1.00794642) × R
    2.55800000001916e-05 × 6371000     		dr = 162.97018000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30617298--0.30612504) × cos(1.00797200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.533577001464285 × 6371000     		do = 162.968150519103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30617298--0.30612504) × cos(1.00794642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.533598635612837 × 6371000     		du = 162.974758144934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00797200)-sin(1.00794642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533577001464285-0.533598635612837)×R²
    abs(-0.30612504--0.30617298)×2.16341485527183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16341485527183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16341485527183e-05×40589641000000     		ar = 26559.4872491131m²