Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59148 / 35596
↖ ↑ ↗
← N 63.218781°
W 17.545166°		 ← 137.59 m → N 63.218781°
W 17.542420°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
N 63.217543°
W 17.545166°		 ← 137.60 m →
18 935 m²		 N 63.217543°
W 17.542420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451267242431641 y=0.271579742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451267242431641 × 217)
    floor (0.451267242431641 × 131072)
    floor (59148.5)     		tx = 59148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271579742431641 × 217)
    floor (0.271579742431641 × 131072)
    floor (35596.5)     		ty = 35596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59148 / 35596 ti = "17/59148/35596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59148/35596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59148 ÷ 217
    59148 ÷ 131072     		x = 0.451263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35596 ÷ 217
    35596 ÷ 131072     		y = 0.271575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.09747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30622091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271575927734375 × 2 - 1) × π
    0.45684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43523077462448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30622091} λ = -0.30622091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43523077462448))-π/2
    2×atan(4.20061429212648)-π/2
    2×1.3370860969513-π/2
    2.6741721939026-1.57079632675     		φ = 1.10337587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30622091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.545166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10337587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.218781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59148 KachelY 35596 -0.30622091 1.10337587 -17.545166 63.218781
    Oben rechts KachelX + 1 59149 KachelY 35596 -0.30617298 1.10337587 -17.542420 63.218781
    Unten links KachelX 59148 KachelY + 1 35597 -0.30622091 1.10335427 -17.545166 63.217543
    Unten rechts KachelX + 1 59149 KachelY + 1 35597 -0.30617298 1.10335427 -17.542420 63.217543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10337587-1.10335427) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dl = 137.613599999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10337587-1.10335427) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dr = 137.613599999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30622091--0.30617298) × cos(1.10337587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450584942248299 × 6371000     		do = 137.591532652458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30622091--0.30617298) × cos(1.10335427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450604225188089 × 6371000     		du = 137.597420930096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10337587)-sin(1.10335427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450584942248299-0.450604225188089)×R²
    abs(-0.30617298--0.30622091)×1.92829397900884e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92829397900884e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92829397900884e-05×40589641000000     		ar = 18934.8712920147m²