Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59147 / 85675
↖ ↑ ↗
← S 48.303294°
W 17.547913°		 ← 203.17 m → S 48.303294°
W 17.545166°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
S 48.305121°
W 17.547913°		 ← 203.16 m →
41 264 m²		 S 48.305121°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451259613037109 y=0.653652191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451259613037109 × 217)
    floor (0.451259613037109 × 131072)
    floor (59147.5)     		tx = 59147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653652191162109 × 217)
    floor (0.653652191162109 × 131072)
    floor (85675.5)     		ty = 85675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59147 / 85675 ti = "17/59147/85675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59147/85675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59147 ÷ 217
    59147 ÷ 131072     		x = 0.451255798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85675 ÷ 217
    85675 ÷ 131072     		y = 0.653648376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451255798339844 × 2 - 1) × π
    -0.0974884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30626885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653648376464844 × 2 - 1) × π
    -0.307296752929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.965401221448311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30626885} λ = -0.30626885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965401221448311))-π/2
    2×atan(0.380830371769136)-π/2
    2×0.36387240555194-π/2
    0.727744811103881-1.57079632675     		φ = -0.84305152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30626885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.547913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84305152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.303294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59147 KachelY 85675 -0.30626885 -0.84305152 -17.547913 -48.303294
    Oben rechts KachelX + 1 59148 KachelY 85675 -0.30622091 -0.84305152 -17.545166 -48.303294
    Unten links KachelX 59147 KachelY + 1 85676 -0.30626885 -0.84308340 -17.547913 -48.305121
    Unten rechts KachelX + 1 59148 KachelY + 1 85676 -0.30622091 -0.84308340 -17.545166 -48.305121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84305152--0.84308340) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84305152--0.84308340) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30626885--0.30622091) × cos(-0.84305152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665187428365181 × 6371000     		do = 203.165362546999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30626885--0.30622091) × cos(-0.84308340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665163623982698 × 6371000     		du = 203.158092075864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84305152)-sin(-0.84308340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665187428365181-0.665163623982698)×R²
    abs(-0.30622091--0.30626885)×2.38043824832834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38043824832834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38043824832834e-05×40589641000000     		ar = 41263.6664700007m²