Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59147 / 85419
↖ ↑ ↗
← S 47.833440°
W 17.547913°		 ← 205.03 m → S 47.833440°
W 17.545166°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
S 47.835283°
W 17.547913°		 ← 205.02 m →
42 021 m²		 S 47.835283°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451259613037109 y=0.651699066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451259613037109 × 217)
    floor (0.451259613037109 × 131072)
    floor (59147.5)     		tx = 59147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651699066162109 × 217)
    floor (0.651699066162109 × 131072)
    floor (85419.5)     		ty = 85419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59147 / 85419 ti = "17/59147/85419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59147/85419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59147 ÷ 217
    59147 ÷ 131072     		x = 0.451255798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85419 ÷ 217
    85419 ÷ 131072     		y = 0.651695251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451255798339844 × 2 - 1) × π
    -0.0974884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30626885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651695251464844 × 2 - 1) × π
    -0.303390502929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.953129375145576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30626885} λ = -0.30626885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953129375145576))-π/2
    2×atan(0.385532657409388)-π/2
    2×0.367972655680444-π/2
    0.735945311360889-1.57079632675     		φ = -0.83485102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30626885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.547913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83485102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.833440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59147 KachelY 85419 -0.30626885 -0.83485102 -17.547913 -47.833440
    Oben rechts KachelX + 1 59148 KachelY 85419 -0.30622091 -0.83485102 -17.545166 -47.833440
    Unten links KachelX 59147 KachelY + 1 85420 -0.30626885 -0.83488319 -17.547913 -47.835283
    Unten rechts KachelX + 1 59148 KachelY + 1 85420 -0.30622091 -0.83488319 -17.545166 -47.835283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83485102--0.83488319) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83485102--0.83488319) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30626885--0.30622091) × cos(-0.83485102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671288113565343 × 6371000     		do = 205.028668838764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30626885--0.30622091) × cos(-0.83488319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671264268926213 × 6371000     		du = 205.021386072213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83485102)-sin(-0.83488319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671288113565343-0.671264268926213)×R²
    abs(-0.30622091--0.30626885)×2.38446391301883e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38446391301883e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38446391301883e-05×40589641000000     		ar = 42020.9188573317m²