Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59147 / 81675
↖ ↑ ↗
← S 40.469935°
W 17.547913°		 ← 232.35 m → S 40.469935°
W 17.545166°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
S 40.472024°
W 17.547913°		 ← 232.34 m →
53 986 m²		 S 40.472024°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451259613037109 y=0.623134613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451259613037109 × 217)
    floor (0.451259613037109 × 131072)
    floor (59147.5)     		tx = 59147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623134613037109 × 217)
    floor (0.623134613037109 × 131072)
    floor (81675.5)     		ty = 81675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59147 / 81675 ti = "17/59147/81675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59147/81675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59147 ÷ 217
    59147 ÷ 131072     		x = 0.451255798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81675 ÷ 217
    81675 ÷ 131072     		y = 0.623130798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451255798339844 × 2 - 1) × π
    -0.0974884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30626885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623130798339844 × 2 - 1) × π
    -0.246261596679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.773653622968086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30626885} λ = -0.30626885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773653622968086))-π/2
    2×atan(0.461324479741721)-π/2
    2×0.432231356703185-π/2
    0.864462713406371-1.57079632675     		φ = -0.70633361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30626885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.547913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70633361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.469935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59147 KachelY 81675 -0.30626885 -0.70633361 -17.547913 -40.469935
    Oben rechts KachelX + 1 59148 KachelY 81675 -0.30622091 -0.70633361 -17.545166 -40.469935
    Unten links KachelX 59147 KachelY + 1 81676 -0.30626885 -0.70637008 -17.547913 -40.472024
    Unten rechts KachelX + 1 59148 KachelY + 1 81676 -0.30622091 -0.70637008 -17.545166 -40.472024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70633361--0.70637008) × R
    3.64700000000662e-05 × 6371000     		dl = 232.350370000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70633361--0.70637008) × R
    3.64700000000662e-05 × 6371000     		dr = 232.350370000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30626885--0.30622091) × cos(-0.70633361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760746650353903 × 6371000     		do = 232.35160863671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30626885--0.30622091) × cos(-0.70637008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760722979032937 × 6371000     		du = 232.344378805987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70633361)-sin(-0.70637008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760746650353903-0.760722979032937)×R²
    abs(-0.30622091--0.30626885)×2.36713209658124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36713209658124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36713209658124e-05×40589641000000     		ar = 53986.1423159754m²