Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59146 / 81672
↖ ↑ ↗
← S 40.463666°
W 17.550659°		 ← 232.37 m → S 40.463666°
W 17.547913°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
S 40.465756°
W 17.550659°		 ← 232.37 m →
54 006 m²		 S 40.465756°
W 17.547913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451251983642578 y=0.623111724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451251983642578 × 217)
    floor (0.451251983642578 × 131072)
    floor (59146.5)     		tx = 59146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623111724853516 × 217)
    floor (0.623111724853516 × 131072)
    floor (81672.5)     		ty = 81672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59146 / 81672 ti = "17/59146/81672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59146/81672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59146 ÷ 217
    59146 ÷ 131072     		x = 0.451248168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81672 ÷ 217
    81672 ÷ 131072     		y = 0.62310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451248168945312 × 2 - 1) × π
    -0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.773509812269226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30631679} λ = -0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773509812269226))-π/2
    2×atan(0.461390827908227)-π/2
    2×0.432286061009655-π/2
    0.86457212201931-1.57079632675     		φ = -0.70622420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70622420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.463666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59146 KachelY 81672 -0.30631679 -0.70622420 -17.550659 -40.463666
    Oben rechts KachelX + 1 59147 KachelY 81672 -0.30626885 -0.70622420 -17.547913 -40.463666
    Unten links KachelX 59146 KachelY + 1 81673 -0.30631679 -0.70626068 -17.550659 -40.465756
    Unten rechts KachelX + 1 59147 KachelY + 1 81673 -0.30626885 -0.70626068 -17.547913 -40.465756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70622420--0.70626068) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dl = 232.414080000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70622420--0.70626068) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dr = 232.414080000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30631679--0.30626885) × cos(-0.70622420) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.760817658245638 × 6371000     		do = 232.373296274858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30631679--0.30626885) × cos(-0.70626068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76079398347035 × 6371000     		du = 232.366065389096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70622420)-sin(-0.70626068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760817658245638-0.76079398347035)×R²
    abs(-0.30626885--0.30631679)×2.3674775287863e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3674775287863e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3674775287863e-05×40589641000000     		ar = 54005.9855965681m²