Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59145 / 85679
↖ ↑ ↗
← S 48.310601°
W 17.553406°		 ← 203.14 m → S 48.310601°
W 17.550659°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
S 48.312428°
W 17.553406°		 ← 203.13 m →
41 271 m²		 S 48.312428°
W 17.550659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451244354248047 y=0.653682708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451244354248047 × 217)
    floor (0.451244354248047 × 131072)
    floor (59145.5)     		tx = 59145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653682708740234 × 217)
    floor (0.653682708740234 × 131072)
    floor (85679.5)     		ty = 85679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59145 / 85679 ti = "17/59145/85679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59145/85679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59145 ÷ 217
    59145 ÷ 131072     		x = 0.451240539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85679 ÷ 217
    85679 ÷ 131072     		y = 0.653678894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451240539550781 × 2 - 1) × π
    -0.0975189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30636473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653678894042969 × 2 - 1) × π
    -0.307357788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.965592969046791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30636473} λ = -0.30636473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965592969046791))-π/2
    2×atan(0.380757355460495)-π/2
    2×0.363808636070997-π/2
    0.727617272141993-1.57079632675     		φ = -0.84317905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30636473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.553406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84317905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.310601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59145 KachelY 85679 -0.30636473 -0.84317905 -17.553406 -48.310601
    Oben rechts KachelX + 1 59146 KachelY 85679 -0.30631679 -0.84317905 -17.550659 -48.310601
    Unten links KachelX 59145 KachelY + 1 85680 -0.30636473 -0.84321094 -17.553406 -48.312428
    Unten rechts KachelX + 1 59146 KachelY + 1 85680 -0.30631679 -0.84321094 -17.550659 -48.312428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84317905--0.84321094) × R
    3.18899999999234e-05 × 6371000     		dl = 203.171189999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84317905--0.84321094) × R
    3.18899999999234e-05 × 6371000     		dr = 203.171189999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30636473--0.30631679) × cos(-0.84317905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66509219931156 × 6371000     		do = 203.136277142827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30636473--0.30631679) × cos(-0.84321094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665068384757071 × 6371000     		du = 203.1290035649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84317905)-sin(-0.84321094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66509219931156-0.665068384757071)×R²
    abs(-0.30631679--0.30636473)×2.38145544894097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38145544894097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38145544894097e-05×40589641000000     		ar = 41270.7002720021m²