Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59145 / 81657
↖ ↑ ↗
← S 40.432314°
W 17.553406°		 ← 232.48 m → S 40.432314°
W 17.550659°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
S 40.434405°
W 17.553406°		 ← 232.47 m →
54 046 m²		 S 40.434405°
W 17.550659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451244354248047 y=0.622997283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451244354248047 × 217)
    floor (0.451244354248047 × 131072)
    floor (59145.5)     		tx = 59145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622997283935547 × 217)
    floor (0.622997283935547 × 131072)
    floor (81657.5)     		ty = 81657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59145 / 81657 ti = "17/59145/81657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59145/81657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59145 ÷ 217
    59145 ÷ 131072     		x = 0.451240539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81657 ÷ 217
    81657 ÷ 131072     		y = 0.622993469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451240539550781 × 2 - 1) × π
    -0.0975189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30636473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622993469238281 × 2 - 1) × π
    -0.245986938476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.772790758774925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30636473} λ = -0.30636473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772790758774925))-π/2
    2×atan(0.461722711902146)-π/2
    2×0.432559659123828-π/2
    0.865119318247656-1.57079632675     		φ = -0.70567701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30636473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.553406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70567701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.432314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59145 KachelY 81657 -0.30636473 -0.70567701 -17.553406 -40.432314
    Oben rechts KachelX + 1 59146 KachelY 81657 -0.30631679 -0.70567701 -17.550659 -40.432314
    Unten links KachelX 59145 KachelY + 1 81658 -0.30636473 -0.70571350 -17.553406 -40.434405
    Unten rechts KachelX + 1 59146 KachelY + 1 81658 -0.30631679 -0.70571350 -17.550659 -40.434405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70567701--0.70571350) × R
    3.64899999999446e-05 × 6371000     		dl = 232.477789999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70567701--0.70571350) × R
    3.64899999999446e-05 × 6371000     		dr = 232.477789999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30636473--0.30631679) × cos(-0.70567701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761172651873162 × 6371000     		do = 232.481720465971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30636473--0.30631679) × cos(-0.70571350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761148985802466 × 6371000     		du = 232.474492238815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70567701)-sin(-0.70571350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761172651873162-0.761148985802466)×R²
    abs(-0.30631679--0.30636473)×2.36660706962599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36660706962599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36660706962599e-05×40589641000000     		ar = 54045.9963940763m²