Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59144 / 82740
↖ ↑ ↗
← S 42.658202°
W 17.556152°		 ← 224.57 m → S 42.658202°
W 17.553406°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.660222°
W 17.556152°		 ← 224.56 m →
50 446 m²		 S 42.660222°
W 17.553406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451236724853516 y=0.631259918212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451236724853516 × 217)
    floor (0.451236724853516 × 131072)
    floor (59144.5)     		tx = 59144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631259918212891 × 217)
    floor (0.631259918212891 × 131072)
    floor (82740.5)     		ty = 82740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59144 / 82740 ti = "17/59144/82740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59144/82740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59144 ÷ 217
    59144 ÷ 131072     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82740 ÷ 217
    82740 ÷ 131072     		y = 0.631256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.26251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.824706421063446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824706421063446))-π/2
    2×atan(0.438363667915275)-π/2
    2×0.413135126345798-π/2
    0.826270252691597-1.57079632675     		φ = -0.74452607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74452607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.658202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59144 KachelY 82740 -0.30641266 -0.74452607 -17.556152 -42.658202
    Oben rechts KachelX + 1 59145 KachelY 82740 -0.30636473 -0.74452607 -17.553406 -42.658202
    Unten links KachelX 59144 KachelY + 1 82741 -0.30641266 -0.74456133 -17.556152 -42.660222
    Unten rechts KachelX + 1 59145 KachelY + 1 82741 -0.30636473 -0.74456133 -17.553406 -42.660222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74452607--0.74456133) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74452607--0.74456133) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30636473) × cos(-0.74452607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.735409130995527 × 6371000     		do = 224.566025121468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30636473) × cos(-0.74456133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.735385237538911 × 6371000     		du = 224.558728967052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74452607)-sin(-0.74456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735409130995527-0.735385237538911)×R²
    abs(-0.30636473--0.30641266)×2.38934566164639e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38934566164639e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38934566164639e-05×40589641000000     		ar = 50446.0202455459m²