Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59144 / 82550
↖ ↑ ↗
← S 42.273244°
W 17.556152°		 ← 225.95 m → S 42.273244°
W 17.553406°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 42.275277°
W 17.556152°		 ← 225.94 m →
51 059 m²		 S 42.275277°
W 17.553406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451236724853516 y=0.629810333251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451236724853516 × 217)
    floor (0.451236724853516 × 131072)
    floor (59144.5)     		tx = 59144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629810333251953 × 217)
    floor (0.629810333251953 × 131072)
    floor (82550.5)     		ty = 82550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59144 / 82550 ti = "17/59144/82550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59144/82550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59144 ÷ 217
    59144 ÷ 131072     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82550 ÷ 217
    82550 ÷ 131072     		y = 0.629806518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629806518554688 × 2 - 1) × π
    -0.259613037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.815598410135635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815598410135635))-π/2
    2×atan(0.442374526739017)-π/2
    2×0.416494514449255-π/2
    0.83298902889851-1.57079632675     		φ = -0.73780730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73780730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.273244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59144 KachelY 82550 -0.30641266 -0.73780730 -17.556152 -42.273244
    Oben rechts KachelX + 1 59145 KachelY 82550 -0.30636473 -0.73780730 -17.553406 -42.273244
    Unten links KachelX 59144 KachelY + 1 82551 -0.30641266 -0.73784277 -17.556152 -42.275277
    Unten rechts KachelX + 1 59145 KachelY + 1 82551 -0.30636473 -0.73784277 -17.553406 -42.275277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73780730--0.73784277) × R
    3.54699999999264e-05 × 6371000     		dl = 225.979369999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73780730--0.73784277) × R
    3.54699999999264e-05 × 6371000     		dr = 225.979369999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30636473) × cos(-0.73780730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739945293395579 × 6371000     		do = 225.951196880358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30636473) × cos(-0.73784277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739921433429781 × 6371000     		du = 225.943910952766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73780730)-sin(-0.73784277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739945293395579-0.739921433429781)×R²
    abs(-0.30636473--0.30641266)×2.38599657980121e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38599657980121e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38599657980121e-05×40589641000000     		ar = 51059.4858923621m²