Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59143 / 39687
↖ ↑ ↗
← N 57.693873°
W 17.558899°		 ← 163.23 m → N 57.693873°
W 17.556152°		 →
↑
163.23 m
↓
↑
163.23 m
↓
N 57.692406°
W 17.558899°		 ← 163.24 m →
26 644 m²		 N 57.692406°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451229095458984 y=0.302791595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451229095458984 × 217)
    floor (0.451229095458984 × 131072)
    floor (59143.5)     		tx = 59143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302791595458984 × 217)
    floor (0.302791595458984 × 131072)
    floor (39687.5)     		ty = 39687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59143 / 39687 ti = "17/59143/39687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59143/39687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59143 ÷ 217
    59143 ÷ 131072     		x = 0.451225280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39687 ÷ 217
    39687 ÷ 131072     		y = 0.302787780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451225280761719 × 2 - 1) × π
    -0.0975494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30646060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302787780761719 × 2 - 1) × π
    0.394424438476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.23912091827883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30646060} λ = -0.30646060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23912091827883))-π/2
    2×atan(3.45257703296177)-π/2
    2×1.2888721884043-π/2
    2.57774437680859-1.57079632675     		φ = 1.00694805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30646060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.558899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00694805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.693873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59143 KachelY 39687 -0.30646060 1.00694805 -17.558899 57.693873
    Oben rechts KachelX + 1 59144 KachelY 39687 -0.30641266 1.00694805 -17.556152 57.693873
    Unten links KachelX 59143 KachelY + 1 39688 -0.30646060 1.00692243 -17.558899 57.692406
    Unten rechts KachelX + 1 59144 KachelY + 1 39688 -0.30641266 1.00692243 -17.556152 57.692406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00694805-1.00692243) × R
    2.56200000001705e-05 × 6371000     		dl = 163.225020001086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00694805-1.00692243) × R
    2.56200000001705e-05 × 6371000     		dr = 163.225020001086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30646060--0.30641266) × cos(1.00694805) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534442728830869 × 6371000     		do = 163.23256594087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30646060--0.30641266) × cos(1.00692243) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534464382799649 × 6371000     		du = 163.239179620308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00694805)-sin(1.00692243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534442728830869-0.534464382799649)×R²
    abs(-0.30641266--0.30646060)×2.16539687798445e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16539687798445e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16539687798445e-05×40589641000000     		ar = 26644.1786010586m²