Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59142 / 85440
↖ ↑ ↗
← S 47.872144°
W 17.561646°		 ← 204.88 m → S 47.872144°
W 17.558899°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
S 47.873986°
W 17.561646°		 ← 204.87 m →
41 977 m²		 S 47.873986°
W 17.558899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451221466064453 y=0.651859283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451221466064453 × 217)
    floor (0.451221466064453 × 131072)
    floor (59142.5)     		tx = 59142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651859283447266 × 217)
    floor (0.651859283447266 × 131072)
    floor (85440.5)     		ty = 85440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59142 / 85440 ti = "17/59142/85440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59142/85440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59142 ÷ 217
    59142 ÷ 131072     		x = 0.451217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85440 ÷ 217
    85440 ÷ 131072     		y = 0.65185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.097564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30650854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30650854} λ = -0.30650854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954136050037598))-π/2
    2×atan(0.385144746645892)-π/2
    2×0.36763489728368-π/2
    0.73526979456736-1.57079632675     		φ = -0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30650854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.561646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59142 KachelY 85440 -0.30650854 -0.83552653 -17.561646 -47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 59143 KachelY 85440 -0.30646060 -0.83552653 -17.558899 -47.872144
    Unten links KachelX 59142 KachelY + 1 85441 -0.30650854 -0.83555869 -17.561646 -47.873986
    Unten rechts KachelX + 1 59143 KachelY + 1 85441 -0.30646060 -0.83555869 -17.558899 -47.873986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83552653--0.83555869) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dl = 204.891360000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83552653--0.83555869) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dr = 204.891360000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30650854--0.30646060) × cos(-0.83552653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 204.875699784872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30650854--0.30646060) × cos(-0.83555869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670763422984393 × 6371000     		du = 204.868414829807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83552653)-sin(-0.83555869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.670763422984393)×R²
    abs(-0.30646060--0.30650854)×2.3851804583086e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3851804583086e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3851804583086e-05×40589641000000     		ar = 41976.5144512591m²