Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59142 / 81820
↖ ↑ ↗
← S 40.772222°
W 17.561646°		 ← 231.30 m → S 40.772222°
W 17.558899°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.774302°
W 17.561646°		 ← 231.30 m →
53 492 m²		 S 40.774302°
W 17.558899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451221466064453 y=0.624240875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451221466064453 × 217)
    floor (0.451221466064453 × 131072)
    floor (59142.5)     		tx = 59142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624240875244141 × 217)
    floor (0.624240875244141 × 131072)
    floor (81820.5)     		ty = 81820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59142 / 81820 ti = "17/59142/81820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59142/81820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59142 ÷ 217
    59142 ÷ 131072     		x = 0.451217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81820 ÷ 217
    81820 ÷ 131072     		y = 0.624237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.097564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30650854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.24847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.780604473412994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30650854} λ = -0.30650854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780604473412994))-π/2
    2×atan(0.458129000790213)-π/2
    2×0.429593405849369-π/2
    0.859186811698738-1.57079632675     		φ = -0.71160952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30650854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.561646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71160952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.772222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59142 KachelY 81820 -0.30650854 -0.71160952 -17.561646 -40.772222
    Oben rechts KachelX + 1 59143 KachelY 81820 -0.30646060 -0.71160952 -17.558899 -40.772222
    Unten links KachelX 59142 KachelY + 1 81821 -0.30650854 -0.71164582 -17.561646 -40.774302
    Unten rechts KachelX + 1 59143 KachelY + 1 81821 -0.30646060 -0.71164582 -17.558899 -40.774302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71160952--0.71164582) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71160952--0.71164582) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30650854--0.30646060) × cos(-0.71160952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757311754663626 × 6371000     		do = 231.302503078685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30650854--0.30646060) × cos(-0.71164582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75728804832173 × 6371000     		du = 231.295262551669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71160952)-sin(-0.71164582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757311754663626-0.75728804832173)×R²
    abs(-0.30646060--0.30650854)×2.37063418959682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37063418959682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37063418959682e-05×40589641000000     		ar = 53491.8681275688m²