Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59142 / 35498
↖ ↑ ↗
← N 63.339808°
W 17.561646°		 ← 137.04 m → N 63.339808°
W 17.558899°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
N 63.338576°
W 17.561646°		 ← 137.05 m →
18 781 m²		 N 63.338576°
W 17.558899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451221466064453 y=0.270832061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451221466064453 × 217)
    floor (0.451221466064453 × 131072)
    floor (59142.5)     		tx = 59142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270832061767578 × 217)
    floor (0.270832061767578 × 131072)
    floor (35498.5)     		ty = 35498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59142 / 35498 ti = "17/59142/35498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59142/35498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59142 ÷ 217
    59142 ÷ 131072     		x = 0.451217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35498 ÷ 217
    35498 ÷ 131072     		y = 0.270828247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.097564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30650854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270828247070312 × 2 - 1) × π
    0.458343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43992859078725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30650854} λ = -0.30650854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43992859078725))-π/2
    2×atan(4.22039443119198)-π/2
    2×1.33814226250823-π/2
    2.67628452501645-1.57079632675     		φ = 1.10548820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30650854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.561646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10548820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.339808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59142 KachelY 35498 -0.30650854 1.10548820 -17.561646 63.339808
    Oben rechts KachelX + 1 59143 KachelY 35498 -0.30646060 1.10548820 -17.558899 63.339808
    Unten links KachelX 59142 KachelY + 1 35499 -0.30650854 1.10546669 -17.561646 63.338576
    Unten rechts KachelX + 1 59143 KachelY + 1 35499 -0.30646060 1.10546669 -17.558899 63.338576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10548820-1.10546669) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dl = 137.040209998954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10548820-1.10546669) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dr = 137.040209998954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30650854--0.30646060) × cos(1.10548820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44869819052839 × 6371000     		do = 137.043976878705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30650854--0.30646060) × cos(1.10546669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448717413553491 × 6371000     		du = 137.049848085371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10548820)-sin(1.10546669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44869819052839-0.448717413553491)×R²
    abs(-0.30646060--0.30650854)×1.92230251001568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92230251001568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92230251001568e-05×40589641000000     		ar = 18780.9376670807m²