Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59141 / 81819
↖ ↑ ↗
← S 40.770142°
W 17.564392°		 ← 231.26 m → S 40.770142°
W 17.561646°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
S 40.772222°
W 17.564392°		 ← 231.25 m →
53 497 m²		 S 40.772222°
W 17.561646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451213836669922 y=0.624233245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451213836669922 × 217)
    floor (0.451213836669922 × 131072)
    floor (59141.5)     		tx = 59141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624233245849609 × 217)
    floor (0.624233245849609 × 131072)
    floor (81819.5)     		ty = 81819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59141 / 81819 ti = "17/59141/81819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59141/81819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59141 ÷ 217
    59141 ÷ 131072     		x = 0.451210021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81819 ÷ 217
    81819 ÷ 131072     		y = 0.624229431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451210021972656 × 2 - 1) × π
    -0.0975799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30655647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624229431152344 × 2 - 1) × π
    -0.248458862304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.780556536513374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30655647} λ = -0.30655647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780556536513374))-π/2
    2×atan(0.458150962600523)-π/2
    2×0.429611557722348-π/2
    0.859223115444696-1.57079632675     		φ = -0.71157321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30655647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.564392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71157321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.770142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59141 KachelY 81819 -0.30655647 -0.71157321 -17.564392 -40.770142
    Oben rechts KachelX + 1 59142 KachelY 81819 -0.30650854 -0.71157321 -17.561646 -40.770142
    Unten links KachelX 59141 KachelY + 1 81820 -0.30655647 -0.71160952 -17.564392 -40.772222
    Unten rechts KachelX + 1 59142 KachelY + 1 81820 -0.30650854 -0.71160952 -17.561646 -40.772222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71157321--0.71160952) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71157321--0.71160952) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30655647--0.30650854) × cos(-0.71157321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757335466537881 × 6371000     		do = 231.261495453146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30655647--0.30650854) × cos(-0.71160952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757311754663626 × 6371000     		du = 231.254254747088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71157321)-sin(-0.71160952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757335466537881-0.757311754663626)×R²
    abs(-0.30650854--0.30655647)×2.37118742540954e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37118742540954e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37118742540954e-05×40589641000000     		ar = 53497.1178232083m²