Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59141 / 33561
↖ ↑ ↗
← N 65.629957°
W 17.564392°		 ← 126 m → N 65.629957°
W 17.561646°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
N 65.628824°
W 17.564392°		 ← 126.01 m →
15 879 m²		 N 65.628824°
W 17.561646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451213836669922 y=0.256053924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451213836669922 × 217)
    floor (0.451213836669922 × 131072)
    floor (59141.5)     		tx = 59141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256053924560547 × 217)
    floor (0.256053924560547 × 131072)
    floor (33561.5)     		ty = 33561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59141 / 33561 ti = "17/59141/33561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59141/33561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59141 ÷ 217
    59141 ÷ 131072     		x = 0.451210021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33561 ÷ 217
    33561 ÷ 131072     		y = 0.256050109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451210021972656 × 2 - 1) × π
    -0.0975799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30655647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256050109863281 × 2 - 1) × π
    0.487899780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.5327823653513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30655647} λ = -0.30655647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5327823653513))-π/2
    2×atan(4.63104417000641)-π/2
    2×1.35812758260765-π/2
    2.7162551652153-1.57079632675     		φ = 1.14545884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30655647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.564392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14545884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.629957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59141 KachelY 33561 -0.30655647 1.14545884 -17.564392 65.629957
    Oben rechts KachelX + 1 59142 KachelY 33561 -0.30650854 1.14545884 -17.561646 65.629957
    Unten links KachelX 59141 KachelY + 1 33562 -0.30655647 1.14543906 -17.564392 65.628824
    Unten rechts KachelX + 1 59142 KachelY + 1 33562 -0.30650854 1.14543906 -17.561646 65.628824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14545884-1.14543906) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dl = 126.018380000865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14545884-1.14543906) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dr = 126.018380000865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30655647--0.30650854) × cos(1.14545884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41262822179848 × 6371000     		do = 126.000991443751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30655647--0.30650854) × cos(1.14543906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412646239310428 × 6371000     		du = 126.006493307775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14545884)-sin(1.14543906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41262822179848-0.412646239310428)×R²
    abs(-0.30650854--0.30655647)×1.80175119477433e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80175119477433e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80175119477433e-05×40589641000000     		ar = 15878.7874887027m²