Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59138 / 85757
↖ ↑ ↗
← S 48.452888°
W 17.572632°		 ← 202.53 m → S 48.452888°
W 17.569885°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 48.454709°
W 17.572632°		 ← 202.52 m →
41 018 m²		 S 48.454709°
W 17.569885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451190948486328 y=0.654277801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451190948486328 × 217)
    floor (0.451190948486328 × 131072)
    floor (59138.5)     		tx = 59138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654277801513672 × 217)
    floor (0.654277801513672 × 131072)
    floor (85757.5)     		ty = 85757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59138 / 85757 ti = "17/59138/85757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59138/85757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59138 ÷ 217
    59138 ÷ 131072     		x = 0.451187133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85757 ÷ 217
    85757 ÷ 131072     		y = 0.654273986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451187133789062 × 2 - 1) × π
    -0.097625732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30670028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654273986816406 × 2 - 1) × π
    -0.308547973632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.969332047217155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30670028} λ = -0.30670028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969332047217155))-π/2
    2×atan(0.37933633225848)-π/2
    2×0.362566955810288-π/2
    0.725133911620576-1.57079632675     		φ = -0.84566242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30670028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.572632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84566242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.452888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59138 KachelY 85757 -0.30670028 -0.84566242 -17.572632 -48.452888
    Oben rechts KachelX + 1 59139 KachelY 85757 -0.30665235 -0.84566242 -17.569885 -48.452888
    Unten links KachelX 59138 KachelY + 1 85758 -0.30670028 -0.84569421 -17.572632 -48.454709
    Unten rechts KachelX + 1 59139 KachelY + 1 85758 -0.30665235 -0.84569421 -17.569885 -48.454709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84566242--0.84569421) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84566242--0.84569421) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30670028--0.30665235) × cos(-0.84566242) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663235665876277 × 6371000     		do = 202.526989300271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30670028--0.30665235) × cos(-0.84569421) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663211873567635 × 6371000     		du = 202.519724032606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84566242)-sin(-0.84569421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663235665876277-0.663211873567635)×R²
    abs(-0.30665235--0.30670028)×2.37923086420233e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37923086420233e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37923086420233e-05×40589641000000     		ar = 41017.8837495523m²