Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59138 / 35575
↖ ↑ ↗
← N 63.244758°
W 17.572632°		 ← 137.47 m → N 63.244758°
W 17.569885°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
N 63.243521°
W 17.572632°		 ← 137.47 m →
18 900 m²		 N 63.243521°
W 17.569885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451190948486328 y=0.271419525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451190948486328 × 217)
    floor (0.451190948486328 × 131072)
    floor (59138.5)     		tx = 59138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271419525146484 × 217)
    floor (0.271419525146484 × 131072)
    floor (35575.5)     		ty = 35575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59138 / 35575 ti = "17/59138/35575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59138/35575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59138 ÷ 217
    59138 ÷ 131072     		x = 0.451187133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35575 ÷ 217
    35575 ÷ 131072     		y = 0.271415710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451187133789062 × 2 - 1) × π
    -0.097625732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30670028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271415710449219 × 2 - 1) × π
    0.457168579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.4362374495165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30670028} λ = -0.30670028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4362374495165))-π/2
    2×atan(4.20484507421919)-π/2
    2×1.33731279133935-π/2
    2.67462558267869-1.57079632675     		φ = 1.10382926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30670028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.572632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10382926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.244758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59138 KachelY 35575 -0.30670028 1.10382926 -17.572632 63.244758
    Oben rechts KachelX + 1 59139 KachelY 35575 -0.30665235 1.10382926 -17.569885 63.244758
    Unten links KachelX 59138 KachelY + 1 35576 -0.30670028 1.10380768 -17.572632 63.243521
    Unten rechts KachelX + 1 59139 KachelY + 1 35576 -0.30665235 1.10380768 -17.569885 63.243521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10382926-1.10380768) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dl = 137.486179999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10382926-1.10380768) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dr = 137.486179999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30670028--0.30665235) × cos(1.10382926) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450180139481547 × 6371000     		do = 137.467921257693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30670028--0.30665235) × cos(1.10380768) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450199408973568 × 6371000     		du = 137.473805428894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10382926)-sin(1.10380768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450180139481547-0.450199408973568)×R²
    abs(-0.30665235--0.30670028)×1.92694920208569e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92694920208569e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92694920208569e-05×40589641000000     		ar = 18900.3438628954m²