Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59137 / 85758
↖ ↑ ↗
← S 48.454709°
W 17.575378°		 ← 202.56 m → S 48.454709°
W 17.572632°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 48.456530°
W 17.575378°		 ← 202.55 m →
41 025 m²		 S 48.456530°
W 17.572632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451183319091797 y=0.654285430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451183319091797 × 217)
    floor (0.451183319091797 × 131072)
    floor (59137.5)     		tx = 59137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654285430908203 × 217)
    floor (0.654285430908203 × 131072)
    floor (85758.5)     		ty = 85758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59137 / 85758 ti = "17/59137/85758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59137/85758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59137 ÷ 217
    59137 ÷ 131072     		x = 0.451179504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85758 ÷ 217
    85758 ÷ 131072     		y = 0.654281616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451179504394531 × 2 - 1) × π
    -0.0976409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30674822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654281616210938 × 2 - 1) × π
    -0.308563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.969379984116776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30674822} λ = -0.30674822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969379984116776))-π/2
    2×atan(0.379318148486638)-π/2
    2×0.362551059364591-π/2
    0.725102118729181-1.57079632675     		φ = -0.84569421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30674822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.575378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84569421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.454709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59137 KachelY 85758 -0.30674822 -0.84569421 -17.575378 -48.454709
    Oben rechts KachelX + 1 59138 KachelY 85758 -0.30670028 -0.84569421 -17.572632 -48.454709
    Unten links KachelX 59137 KachelY + 1 85759 -0.30674822 -0.84572600 -17.575378 -48.456530
    Unten rechts KachelX + 1 59138 KachelY + 1 85759 -0.30670028 -0.84572600 -17.572632 -48.456530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84569421--0.84572600) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84569421--0.84572600) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30674822--0.30670028) × cos(-0.84569421) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663211873567635 × 6371000     		do = 202.561977261283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30674822--0.30670028) × cos(-0.84572600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663188080588748 × 6371000     		du = 202.5547102731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84569421)-sin(-0.84572600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663211873567635-0.663188080588748)×R²
    abs(-0.30670028--0.30674822)×2.37929788866609e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37929788866609e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37929788866609e-05×40589641000000     		ar = 41024.9698302941m²