Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59137 / 85672
↖ ↑ ↗
← S 48.297813°
W 17.575378°		 ← 203.19 m → S 48.297813°
W 17.572632°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
S 48.299640°
W 17.575378°		 ← 203.18 m →
41 281 m²		 S 48.299640°
W 17.572632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451183319091797 y=0.653629302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451183319091797 × 217)
    floor (0.451183319091797 × 131072)
    floor (59137.5)     		tx = 59137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653629302978516 × 217)
    floor (0.653629302978516 × 131072)
    floor (85672.5)     		ty = 85672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59137 / 85672 ti = "17/59137/85672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59137/85672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59137 ÷ 217
    59137 ÷ 131072     		x = 0.451179504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85672 ÷ 217
    85672 ÷ 131072     		y = 0.65362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451179504394531 × 2 - 1) × π
    -0.0976409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30674822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.3072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.965257410749451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30674822} λ = -0.30674822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965257410749451))-π/2
    2×atan(0.380885143189311)-π/2
    2×0.363920238654687-π/2
    0.727840477309373-1.57079632675     		φ = -0.84295585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30674822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.575378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84295585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.297813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59137 KachelY 85672 -0.30674822 -0.84295585 -17.575378 -48.297813
    Oben rechts KachelX + 1 59138 KachelY 85672 -0.30670028 -0.84295585 -17.572632 -48.297813
    Unten links KachelX 59137 KachelY + 1 85673 -0.30674822 -0.84298774 -17.575378 -48.299640
    Unten rechts KachelX + 1 59138 KachelY + 1 85673 -0.30670028 -0.84298774 -17.572632 -48.299640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84295585--0.84298774) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dl = 203.171190000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84295585--0.84298774) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dr = 203.171190000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30674822--0.30670028) × cos(-0.84295585) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665258859854601 × 6371000     		do = 203.18717956275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30674822--0.30670028) × cos(-0.84298774) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665235050034645 × 6371000     		du = 203.17990743087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84295585)-sin(-0.84298774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665258859854601-0.665235050034645)×R²
    abs(-0.30670028--0.30674822)×2.38098199558667e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38098199558667e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38098199558667e-05×40589641000000     		ar = 41281.0423241155m²