Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59137 / 85662
↖ ↑ ↗
← S 48.279537°
W 17.575378°		 ← 203.26 m → S 48.279537°
W 17.572632°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
S 48.281365°
W 17.575378°		 ← 203.25 m →
41 309 m²		 S 48.281365°
W 17.572632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451183319091797 y=0.653553009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451183319091797 × 217)
    floor (0.451183319091797 × 131072)
    floor (59137.5)     		tx = 59137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653553009033203 × 217)
    floor (0.653553009033203 × 131072)
    floor (85662.5)     		ty = 85662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59137 / 85662 ti = "17/59137/85662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59137/85662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59137 ÷ 217
    59137 ÷ 131072     		x = 0.451179504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85662 ÷ 217
    85662 ÷ 131072     		y = 0.653549194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451179504394531 × 2 - 1) × π
    -0.0976409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30674822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653549194335938 × 2 - 1) × π
    -0.307098388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.96477804175325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30674822} λ = -0.30674822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96477804175325))-π/2
    2×atan(0.381067771487744)-π/2
    2×0.364079719425629-π/2
    0.728159438851257-1.57079632675     		φ = -0.84263689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30674822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.575378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84263689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.279537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59137 KachelY 85662 -0.30674822 -0.84263689 -17.575378 -48.279537
    Oben rechts KachelX + 1 59138 KachelY 85662 -0.30670028 -0.84263689 -17.572632 -48.279537
    Unten links KachelX 59137 KachelY + 1 85663 -0.30674822 -0.84266879 -17.575378 -48.281365
    Unten rechts KachelX + 1 59138 KachelY + 1 85663 -0.30670028 -0.84266879 -17.572632 -48.281365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84263689--0.84266879) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dl = 203.234899999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84263689--0.84266879) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dr = 203.234899999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30674822--0.30670028) × cos(-0.84263689) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665496965623965 × 6371000     		do = 203.259903193556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30674822--0.30670028) × cos(-0.84266879) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665473155107651 × 6371000     		du = 203.252630848991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84263689)-sin(-0.84266879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665496965623965-0.665473155107651)×R²
    abs(-0.30670028--0.30674822)×2.3810516313727e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3810516313727e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3810516313727e-05×40589641000000     		ar = 41308.7671057678m²