Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59133 / 81825
↖ ↑ ↗
← S 40.782621°
W 17.586365°		 ← 231.27 m → S 40.782621°
W 17.583618°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
S 40.784701°
W 17.586365°		 ← 231.26 m →
53 469 m²		 S 40.784701°
W 17.583618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451152801513672 y=0.624279022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451152801513672 × 217)
    floor (0.451152801513672 × 131072)
    floor (59133.5)     		tx = 59133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624279022216797 × 217)
    floor (0.624279022216797 × 131072)
    floor (81825.5)     		ty = 81825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59133 / 81825 ti = "17/59133/81825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59133/81825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59133 ÷ 217
    59133 ÷ 131072     		x = 0.451148986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81825 ÷ 217
    81825 ÷ 131072     		y = 0.624275207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451148986816406 × 2 - 1) × π
    -0.0977020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30693997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624275207519531 × 2 - 1) × π
    -0.248550415039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.780844157911095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30693997} λ = -0.30693997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780844157911095))-π/2
    2×atan(0.458019207528991)-π/2
    2×0.429502655008228-π/2
    0.859005310016455-1.57079632675     		φ = -0.71179102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30693997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.586365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71179102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.782621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59133 KachelY 81825 -0.30693997 -0.71179102 -17.586365 -40.782621
    Oben rechts KachelX + 1 59134 KachelY 81825 -0.30689203 -0.71179102 -17.583618 -40.782621
    Unten links KachelX 59133 KachelY + 1 81826 -0.30693997 -0.71182731 -17.586365 -40.784701
    Unten rechts KachelX + 1 59134 KachelY + 1 81826 -0.30689203 -0.71182731 -17.583618 -40.784701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71179102--0.71182731) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dl = 231.203589999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71179102--0.71182731) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dr = 231.203589999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30693997--0.30689203) × cos(-0.71179102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.75719321297575 × 6371000     		do = 231.266297396212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30693997--0.30689203) × cos(-0.71182731) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.757169508176997 × 6371000     		du = 231.259057340511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71179102)-sin(-0.71182731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75719321297575-0.757169508176997)×R²
    abs(-0.30689203--0.30693997)×2.37047987534655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37047987534655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37047987534655e-05×40589641000000     		ar = 53468.7612464356m²