Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59133 / 39621
↖ ↑ ↗
← N 57.790625°
W 17.586365°		 ← 162.80 m → N 57.790625°
W 17.583618°		 →
↑
162.78 m
↓
↑
162.78 m
↓
N 57.789161°
W 17.586365°		 ← 162.80 m →
26 500 m²		 N 57.789161°
W 17.583618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451152801513672 y=0.302288055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451152801513672 × 217)
    floor (0.451152801513672 × 131072)
    floor (59133.5)     		tx = 59133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302288055419922 × 217)
    floor (0.302288055419922 × 131072)
    floor (39621.5)     		ty = 39621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59133 / 39621 ti = "17/59133/39621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59133/39621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59133 ÷ 217
    59133 ÷ 131072     		x = 0.451148986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39621 ÷ 217
    39621 ÷ 131072     		y = 0.302284240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451148986816406 × 2 - 1) × π
    -0.0977020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30693997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302284240722656 × 2 - 1) × π
    0.395431518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.24228475365376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30693997} λ = -0.30693997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24228475365376))-π/2
    2×atan(3.4635177164478)-π/2
    2×1.28971650301876-π/2
    2.57943300603753-1.57079632675     		φ = 1.00863668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30693997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.586365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00863668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.790625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59133 KachelY 39621 -0.30693997 1.00863668 -17.586365 57.790625
    Oben rechts KachelX + 1 59134 KachelY 39621 -0.30689203 1.00863668 -17.583618 57.790625
    Unten links KachelX 59133 KachelY + 1 39622 -0.30693997 1.00861113 -17.586365 57.789161
    Unten rechts KachelX + 1 59134 KachelY + 1 39622 -0.30689203 1.00861113 -17.583618 57.789161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00863668-1.00861113) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dl = 162.779049999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00863668-1.00861113) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dr = 162.779049999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30693997--0.30689203) × cos(1.00863668) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533014729538018 × 6371000     		do = 162.796418200131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30693997--0.30689203) × cos(1.00861113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533036347371356 × 6371000     		du = 162.803020842875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00863668)-sin(1.00861113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533014729538018-0.533036347371356)×R²
    abs(-0.30689203--0.30693997)×2.16178333374284e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16178333374284e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16178333374284e-05×40589641000000     		ar = 26500.3836852353m²