Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59131 / 35349
↖ ↑ ↗
← N 63.522849°
W 17.591858°		 ← 136.14 m → N 63.522849°
W 17.589112°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
N 63.521624°
W 17.591858°		 ← 136.15 m →
18 545 m²		 N 63.521624°
W 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451137542724609 y=0.269695281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451137542724609 × 217)
    floor (0.451137542724609 × 131072)
    floor (59131.5)     		tx = 59131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269695281982422 × 217)
    floor (0.269695281982422 × 131072)
    floor (35349.5)     		ty = 35349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59131 / 35349 ti = "17/59131/35349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59131/35349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59131 ÷ 217
    59131 ÷ 131072     		x = 0.451133728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35349 ÷ 217
    35349 ÷ 131072     		y = 0.269691467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451133728027344 × 2 - 1) × π
    -0.0977325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30703584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269691467285156 × 2 - 1) × π
    0.460617065429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.44707118883064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30703584} λ = -0.30703584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44707118883064))-π/2
    2×atan(4.25064692428241)-π/2
    2×1.33973959171642-π/2
    2.67947918343283-1.57079632675     		φ = 1.10868286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30703584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.591858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10868286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.522849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59131 KachelY 35349 -0.30703584 1.10868286 -17.591858 63.522849
    Oben rechts KachelX + 1 59132 KachelY 35349 -0.30698791 1.10868286 -17.589112 63.522849
    Unten links KachelX 59131 KachelY + 1 35350 -0.30703584 1.10866148 -17.591858 63.521624
    Unten rechts KachelX + 1 59132 KachelY + 1 35350 -0.30698791 1.10866148 -17.589112 63.521624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10868286-1.10866148) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10868286-1.10866148) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30703584--0.30698791) × cos(1.10868286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445840891255254 × 6371000     		do = 136.142879610797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30703584--0.30698791) × cos(1.10866148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445860028652777 × 6371000     		du = 136.148723445353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10868286)-sin(1.10866148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445840891255254-0.445860028652777)×R²
    abs(-0.30698791--0.30703584)×1.91373975229059e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91373975229059e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91373975229059e-05×40589641000000     		ar = 18544.6891955312m²