Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59131 / 35346
↖ ↑ ↗
← N 63.526522°
W 17.591858°		 ← 136.13 m → N 63.526522°
W 17.589112°		 →
↑
136.15 m
↓
↑
136.15 m
↓
N 63.525298°
W 17.591858°		 ← 136.13 m →
18 534 m²		 N 63.525298°
W 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451137542724609 y=0.269672393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451137542724609 × 217)
    floor (0.451137542724609 × 131072)
    floor (59131.5)     		tx = 59131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269672393798828 × 217)
    floor (0.269672393798828 × 131072)
    floor (35346.5)     		ty = 35346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59131 / 35346 ti = "17/59131/35346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59131/35346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59131 ÷ 217
    59131 ÷ 131072     		x = 0.451133728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35346 ÷ 217
    35346 ÷ 131072     		y = 0.269668579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451133728027344 × 2 - 1) × π
    -0.0977325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30703584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269668579101562 × 2 - 1) × π
    0.460662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4472149995295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30703584} λ = -0.30703584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4472149995295))-π/2
    2×atan(4.25125825674422)-π/2
    2×1.33977164799839-π/2
    2.67954329599678-1.57079632675     		φ = 1.10874697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30703584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.591858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10874697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.526522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59131 KachelY 35346 -0.30703584 1.10874697 -17.591858 63.526522
    Oben rechts KachelX + 1 59132 KachelY 35346 -0.30698791 1.10874697 -17.589112 63.526522
    Unten links KachelX 59131 KachelY + 1 35347 -0.30703584 1.10872560 -17.591858 63.525298
    Unten rechts KachelX + 1 59132 KachelY + 1 35347 -0.30698791 1.10872560 -17.589112 63.525298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10874697-1.10872560) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dl = 136.148270000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10874697-1.10872560) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dr = 136.148270000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30703584--0.30698791) × cos(1.10874697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445783504694169 × 6371000     		do = 136.125355934009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30703584--0.30698791) × cos(1.10872560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445802633751455 × 6371000     		du = 136.131197221774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10874697)-sin(1.10872560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445783504694169-0.445802633751455)×R²
    abs(-0.30698791--0.30703584)×1.91290572855163e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91290572855163e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91290572855163e-05×40589641000000     		ar = 18533.6293548865m²