Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59130 / 85676
↖ ↑ ↗
← S 48.305121°
W 17.594605°		 ← 203.16 m → S 48.305121°
W 17.591858°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
S 48.306948°
W 17.594605°		 ← 203.15 m →
41 275 m²		 S 48.306948°
W 17.591858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451129913330078 y=0.653659820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451129913330078 × 217)
    floor (0.451129913330078 × 131072)
    floor (59130.5)     		tx = 59130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653659820556641 × 217)
    floor (0.653659820556641 × 131072)
    floor (85676.5)     		ty = 85676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59130 / 85676 ti = "17/59130/85676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59130/85676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59130 ÷ 217
    59130 ÷ 131072     		x = 0.451126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85676 ÷ 217
    85676 ÷ 131072     		y = 0.653656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451126098632812 × 2 - 1) × π
    -0.097747802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30708378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.30731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.965449158347931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30708378} λ = -0.30708378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965449158347931))-π/2
    2×atan(0.380812116379389)-π/2
    2×0.363856462325707-π/2
    0.727712924651415-1.57079632675     		φ = -0.84308340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30708378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.594605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84308340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.305121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59130 KachelY 85676 -0.30708378 -0.84308340 -17.594605 -48.305121
    Oben rechts KachelX + 1 59131 KachelY 85676 -0.30703584 -0.84308340 -17.591858 -48.305121
    Unten links KachelX 59130 KachelY + 1 85677 -0.30708378 -0.84311529 -17.594605 -48.306948
    Unten rechts KachelX + 1 59131 KachelY + 1 85677 -0.30703584 -0.84311529 -17.591858 -48.306948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84308340--0.84311529) × R
    3.18899999999234e-05 × 6371000     		dl = 203.171189999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84308340--0.84311529) × R
    3.18899999999234e-05 × 6371000     		dr = 203.171189999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30708378--0.30703584) × cos(-0.84308340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665163623982698 × 6371000     		do = 203.158092075864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30708378--0.30703584) × cos(-0.84311529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665139811456997 × 6371000     		du = 203.150819117581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84308340)-sin(-0.84311529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665163623982698-0.665139811456997)×R²
    abs(-0.30703584--0.30708378)×2.3812525700273e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3812525700273e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3812525700273e-05×40589641000000     		ar = 41275.1325008072m²