Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5913 / 6889
↖ ↑ ↗
← N 27.508272°
W 50.075683°		 ← 2 167 m → N 27.508272°
W 50.053711°		 →
↑
2 167.22 m
↓
↑
2 167.22 m
↓
N 27.488781°
W 50.075683°		 ← 2 167.38 m →
4 696 778 m²		 N 27.488781°
W 50.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360931396484375 y=0.420501708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360931396484375 × 214)
    floor (0.360931396484375 × 16384)
    floor (5913.5)     		tx = 5913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420501708984375 × 214)
    floor (0.420501708984375 × 16384)
    floor (6889.5)     		ty = 6889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5913 / 6889 ti = "14/5913/6889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5913/6889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5913 ÷ 214
    5913 ÷ 16384     		x = 0.36090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6889 ÷ 214
    6889 ÷ 16384     		y = 0.42047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.2781982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87398555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42047119140625 × 2 - 1) × π
    0.1590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499694241639465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87398555} λ = -0.87398555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499694241639465))-π/2
    2×atan(1.64821723744754)-π/2
    2×1.0254531172433-π/2
    2.0509062344866-1.57079632675     		φ = 0.48010991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87398555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.075683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48010991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.508272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5913 KachelY 6889 -0.87398555 0.48010991 -50.075683 27.508272
    Oben rechts KachelX + 1 5914 KachelY 6889 -0.87360206 0.48010991 -50.053711 27.508272
    Unten links KachelX 5913 KachelY + 1 6890 -0.87398555 0.47976974 -50.075683 27.488781
    Unten rechts KachelX + 1 5914 KachelY + 1 6890 -0.87360206 0.47976974 -50.053711 27.488781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48010991-0.47976974) × R
    0.000340169999999973 × 6371000     		dl = 2167.22306999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48010991-0.47976974) × R
    0.000340169999999973 × 6371000     		dr = 2167.22306999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87398555--0.87360206) × cos(0.48010991) × R
    0.000383490000000042 × 0.886944163272661 × 6371000     		do = 2166.99509761218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87398555--0.87360206) × cos(0.47976974) × R
    0.000383490000000042 × 0.887101228537217 × 6371000     		du = 2167.37884178954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48010991)-sin(0.47976974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886944163272661-0.887101228537217)×R²
    abs(-0.87360206--0.87398555)×0.000157065264555944×R²
    0.000383490000000042×0.000157065264555944×6371000²
    0.000383490000000042×0.000157065264555944×40589641000000     		ar = 4696777.64302962m²