Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59129 / 38797
↖ ↑ ↗
← N 58.976914°
W 17.597351°		 ← 157.41 m → N 58.976914°
W 17.594605°		 →
↑
157.36 m
↓
↑
157.36 m
↓
N 58.975499°
W 17.597351°		 ← 157.42 m →
24 771 m²		 N 58.975499°
W 17.594605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451122283935547 y=0.296001434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451122283935547 × 217)
    floor (0.451122283935547 × 131072)
    floor (59129.5)     		tx = 59129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296001434326172 × 217)
    floor (0.296001434326172 × 131072)
    floor (38797.5)     		ty = 38797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59129 / 38797 ti = "17/59129/38797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59129/38797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59129 ÷ 217
    59129 ÷ 131072     		x = 0.451118469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38797 ÷ 217
    38797 ÷ 131072     		y = 0.295997619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451118469238281 × 2 - 1) × π
    -0.0977630615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30713172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295997619628906 × 2 - 1) × π
    0.408004760742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.28178475894068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30713172} λ = -0.30713172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28178475894068))-π/2
    2×atan(3.60306459218951)-π/2
    2×1.30006882976006-π/2
    2.60013765952012-1.57079632675     		φ = 1.02934133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30713172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.597351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02934133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.976914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59129 KachelY 38797 -0.30713172 1.02934133 -17.597351 58.976914
    Oben rechts KachelX + 1 59130 KachelY 38797 -0.30708378 1.02934133 -17.594605 58.976914
    Unten links KachelX 59129 KachelY + 1 38798 -0.30713172 1.02931663 -17.597351 58.975499
    Unten rechts KachelX + 1 59130 KachelY + 1 38798 -0.30708378 1.02931663 -17.594605 58.975499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02934133-1.02931663) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dl = 157.363699999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02934133-1.02931663) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dr = 157.363699999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30713172--0.30708378) × cos(1.02934133) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515383410378246 × 6371000     		do = 157.411359498578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30713172--0.30708378) × cos(1.02931663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515404577125804 × 6371000     		du = 157.417824368115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02934133)-sin(1.02931663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515383410378246-0.515404577125804)×R²
    abs(-0.30708378--0.30713172)×2.11667475583655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11667475583655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11667475583655e-05×40589641000000     		ar = 24771.3426217873m²