Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59129 / 38794
↖ ↑ ↗
← N 58.981161°
W 17.597351°		 ← 157.39 m → N 58.981161°
W 17.594605°		 →
↑
157.43 m
↓
↑
157.43 m
↓
N 58.979745°
W 17.597351°		 ← 157.40 m →
24 778 m²		 N 58.979745°
W 17.594605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451122283935547 y=0.295978546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451122283935547 × 217)
    floor (0.451122283935547 × 131072)
    floor (59129.5)     		tx = 59129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295978546142578 × 217)
    floor (0.295978546142578 × 131072)
    floor (38794.5)     		ty = 38794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59129 / 38794 ti = "17/59129/38794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59129/38794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59129 ÷ 217
    59129 ÷ 131072     		x = 0.451118469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38794 ÷ 217
    38794 ÷ 131072     		y = 0.295974731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451118469238281 × 2 - 1) × π
    -0.0977630615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30713172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295974731445312 × 2 - 1) × π
    0.408050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28192856963954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30713172} λ = -0.30713172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28192856963954))-π/2
    2×atan(3.60358278868676)-π/2
    2×1.3001058863006-π/2
    2.6002117726012-1.57079632675     		φ = 1.02941545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30713172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.597351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02941545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.981161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59129 KachelY 38794 -0.30713172 1.02941545 -17.597351 58.981161
    Oben rechts KachelX + 1 59130 KachelY 38794 -0.30708378 1.02941545 -17.594605 58.981161
    Unten links KachelX 59129 KachelY + 1 38795 -0.30713172 1.02939074 -17.597351 58.979745
    Unten rechts KachelX + 1 59130 KachelY + 1 38795 -0.30708378 1.02939074 -17.594605 58.979745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02941545-1.02939074) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dl = 157.42740999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02941545-1.02939074) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dr = 157.42740999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30713172--0.30708378) × cos(1.02941545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515319891109083 × 6371000     		do = 157.39195907879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30713172--0.30708378) × cos(1.02939074) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.51534106737 × 6371000     		du = 157.398426853951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02941545)-sin(1.02939074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515319891109083-0.51534106737)×R²
    abs(-0.30708378--0.30713172)×2.11762609166888e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11762609166888e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11762609166888e-05×40589641000000     		ar = 24778.3175761585m²