Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59128 / 85686
↖ ↑ ↗
← S 48.323386°
W 17.600097°		 ← 203.04 m → S 48.323386°
W 17.597351°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
S 48.325213°
W 17.600097°		 ← 203.04 m →
41 239 m²		 S 48.325213°
W 17.597351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451114654541016 y=0.653736114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451114654541016 × 217)
    floor (0.451114654541016 × 131072)
    floor (59128.5)     		tx = 59128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653736114501953 × 217)
    floor (0.653736114501953 × 131072)
    floor (85686.5)     		ty = 85686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59128 / 85686 ti = "17/59128/85686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59128/85686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59128 ÷ 217
    59128 ÷ 131072     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85686 ÷ 217
    85686 ÷ 131072     		y = 0.653732299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653732299804688 × 2 - 1) × π
    -0.307464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.965928527344131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965928527344131))-π/2
    2×atan(0.380629610604719)-π/2
    2×0.363697061449394-π/2
    0.727394122898788-1.57079632675     		φ = -0.84340220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84340220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.323386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59128 KachelY 85686 -0.30717965 -0.84340220 -17.600097 -48.323386
    Oben rechts KachelX + 1 59129 KachelY 85686 -0.30713172 -0.84340220 -17.597351 -48.323386
    Unten links KachelX 59128 KachelY + 1 85687 -0.30717965 -0.84343408 -17.600097 -48.325213
    Unten rechts KachelX + 1 59129 KachelY + 1 85687 -0.30713172 -0.84343408 -17.597351 -48.325213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84340220--0.84343408) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84340220--0.84343408) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30713172) × cos(-0.84340220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66492554298028 × 6371000     		do = 203.043013603435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30713172) × cos(-0.84343408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664901731162812 × 6371000     		du = 203.035742378515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84340220)-sin(-0.84343408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66492554298028-0.664901731162812)×R²
    abs(-0.30713172--0.30717965)×2.38118174679114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38118174679114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38118174679114e-05×40589641000000     		ar = 41238.8164080612m²