Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59127 / 39660
↖ ↑ ↗
← N 57.733485°
W 17.602844°		 ← 163.05 m → N 57.733485°
W 17.600097°		 →
↑
163.03 m
↓
↑
163.03 m
↓
N 57.732019°
W 17.602844°		 ← 163.06 m →
26 584 m²		 N 57.732019°
W 17.600097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451107025146484 y=0.302585601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451107025146484 × 217)
    floor (0.451107025146484 × 131072)
    floor (59127.5)     		tx = 59127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302585601806641 × 217)
    floor (0.302585601806641 × 131072)
    floor (39660.5)     		ty = 39660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59127 / 39660 ti = "17/59127/39660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59127/39660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59127 ÷ 217
    59127 ÷ 131072     		x = 0.451103210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39660 ÷ 217
    39660 ÷ 131072     		y = 0.302581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451103210449219 × 2 - 1) × π
    -0.0977935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30722759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302581787109375 × 2 - 1) × π
    0.39483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24041521456857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30722759} λ = -0.30722759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24041521456857))-π/2
    2×atan(3.45704858373714)-π/2
    2×1.28921786288827-π/2
    2.57843572577654-1.57079632675     		φ = 1.00763940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30722759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.602844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00763940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.733485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59127 KachelY 39660 -0.30722759 1.00763940 -17.602844 57.733485
    Oben rechts KachelX + 1 59128 KachelY 39660 -0.30717965 1.00763940 -17.600097 57.733485
    Unten links KachelX 59127 KachelY + 1 39661 -0.30722759 1.00761381 -17.602844 57.732019
    Unten rechts KachelX + 1 59128 KachelY + 1 39661 -0.30717965 1.00761381 -17.600097 57.732019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00763940-1.00761381) × R
    2.55899999999087e-05 × 6371000     		dl = 163.033889999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00763940-1.00761381) × R
    2.55899999999087e-05 × 6371000     		dr = 163.033889999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30722759--0.30717965) × cos(1.00763940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.533858268891924 × 6371000     		do = 163.054056831328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30722759--0.30717965) × cos(1.00761381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.533879906955167 × 6371000     		du = 163.060665652806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00763940)-sin(1.00761381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533858268891924-0.533879906955167)×R²
    abs(-0.30717965--0.30722759)×2.16380632430679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16380632430679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16380632430679e-05×40589641000000     		ar = 26583.8758977535m²