Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59125 / 82514
↖ ↑ ↗
← S 42.200038°
W 17.608337°		 ← 226.21 m → S 42.200038°
W 17.605591°		 →
↑
226.23 m
↓
↑
226.23 m
↓
S 42.202073°
W 17.608337°		 ← 226.21 m →
51 176 m²		 S 42.202073°
W 17.605591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451091766357422 y=0.629535675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451091766357422 × 217)
    floor (0.451091766357422 × 131072)
    floor (59125.5)     		tx = 59125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629535675048828 × 217)
    floor (0.629535675048828 × 131072)
    floor (82514.5)     		ty = 82514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59125 / 82514 ti = "17/59125/82514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59125/82514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59125 ÷ 217
    59125 ÷ 131072     		x = 0.451087951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82514 ÷ 217
    82514 ÷ 131072     		y = 0.629531860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451087951660156 × 2 - 1) × π
    -0.0978240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30732346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629531860351562 × 2 - 1) × π
    -0.259063720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813872681749313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30732346} λ = -0.30732346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813872681749313))-π/2
    2×atan(0.443138604122584)-π/2
    2×0.417133357301007-π/2
    0.834266714602015-1.57079632675     		φ = -0.73652961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30732346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.608337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73652961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.200038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59125 KachelY 82514 -0.30732346 -0.73652961 -17.608337 -42.200038
    Oben rechts KachelX + 1 59126 KachelY 82514 -0.30727553 -0.73652961 -17.605591 -42.200038
    Unten links KachelX 59125 KachelY + 1 82515 -0.30732346 -0.73656512 -17.608337 -42.202073
    Unten rechts KachelX + 1 59126 KachelY + 1 82515 -0.30727553 -0.73656512 -17.605591 -42.202073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73652961--0.73656512) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dl = 226.234210000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73652961--0.73656512) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dr = 226.234210000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30732346--0.30727553) × cos(-0.73652961) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.740804149150138 × 6371000     		do = 226.213458816785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30732346--0.30727553) × cos(-0.73656512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.740780295867443 × 6371000     		du = 226.20617492996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73652961)-sin(-0.73656512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740804149150138-0.740780295867443)×R²
    abs(-0.30727553--0.30732346)×2.38532826949411e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38532826949411e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38532826949411e-05×40589641000000     		ar = 51176.399220151m²