Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59125 / 45292
↖ ↑ ↗
← N 48.494767°
W 17.608337°		 ← 202.36 m → N 48.494767°
W 17.605591°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
N 48.492948°
W 17.608337°		 ← 202.37 m →
40 947 m²		 N 48.492948°
W 17.605591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451091766357422 y=0.345554351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451091766357422 × 217)
    floor (0.451091766357422 × 131072)
    floor (59125.5)     		tx = 59125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345554351806641 × 217)
    floor (0.345554351806641 × 131072)
    floor (45292.5)     		ty = 45292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59125 / 45292 ti = "17/59125/45292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59125/45292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59125 ÷ 217
    59125 ÷ 131072     		x = 0.451087951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45292 ÷ 217
    45292 ÷ 131072     		y = 0.345550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451087951660156 × 2 - 1) × π
    -0.0978240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30732346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345550537109375 × 2 - 1) × π
    0.30889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.970434595908417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30732346} λ = -0.30732346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970434595908417))-π/2
    2×atan(2.63909114837795)-π/2
    2×1.20859484495391-π/2
    2.41718968990782-1.57079632675     		φ = 0.84639336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30732346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.608337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84639336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.494767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59125 KachelY 45292 -0.30732346 0.84639336 -17.608337 48.494767
    Oben rechts KachelX + 1 59126 KachelY 45292 -0.30727553 0.84639336 -17.605591 48.494767
    Unten links KachelX 59125 KachelY + 1 45293 -0.30732346 0.84636160 -17.608337 48.492948
    Unten rechts KachelX + 1 59126 KachelY + 1 45293 -0.30727553 0.84636160 -17.605591 48.492948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84639336-0.84636160) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dl = 202.342959999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84639336-0.84636160) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dr = 202.342959999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30732346--0.30727553) × cos(0.84639336) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662688445494121 × 6371000     		do = 202.359888973519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30732346--0.30727553) × cos(0.84636160) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66271223007152 × 6371000     		du = 202.367151880356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84639336)-sin(0.84636160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662688445494121-0.66271223007152)×R²
    abs(-0.30727553--0.30732346)×2.37845773987111e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37845773987111e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37845773987111e-05×40589641000000     		ar = 40946.8337225016m²