Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59123 / 30881
↖ ↑ ↗
← N 68.495033°
W 17.613831°		 ← 111.96 m → N 68.495033°
W 17.611084°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
N 68.494026°
W 17.613831°		 ← 111.97 m →
12 533 m²		 N 68.494026°
W 17.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451076507568359 y=0.235607147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451076507568359 × 217)
    floor (0.451076507568359 × 131072)
    floor (59123.5)     		tx = 59123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235607147216797 × 217)
    floor (0.235607147216797 × 131072)
    floor (30881.5)     		ty = 30881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59123 / 30881 ti = "17/59123/30881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59123/30881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59123 ÷ 217
    59123 ÷ 131072     		x = 0.451072692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30881 ÷ 217
    30881 ÷ 131072     		y = 0.235603332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451072692871094 × 2 - 1) × π
    -0.0978546142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30741934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235603332519531 × 2 - 1) × π
    0.528793334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.66125325633305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30741934} λ = -0.30741934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66125325633305))-π/2
    2×atan(5.2659062410682)-π/2
    2×1.38313009046735-π/2
    2.76626018093469-1.57079632675     		φ = 1.19546385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30741934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.613831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19546385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.495033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59123 KachelY 30881 -0.30741934 1.19546385 -17.613831 68.495033
    Oben rechts KachelX + 1 59124 KachelY 30881 -0.30737140 1.19546385 -17.611084 68.495033
    Unten links KachelX 59123 KachelY + 1 30882 -0.30741934 1.19544628 -17.613831 68.494026
    Unten rechts KachelX + 1 59124 KachelY + 1 30882 -0.30737140 1.19544628 -17.611084 68.494026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19546385-1.19544628) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19546385-1.19544628) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30741934--0.30737140) × cos(1.19546385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366581881028076 × 6371000     		do = 111.963542283519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30741934--0.30737140) × cos(1.19544628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366598227849881 × 6371000     		du = 111.968535023665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19546385)-sin(1.19544628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366581881028076-0.366598227849881)×R²
    abs(-0.30737140--0.30741934)×1.6346821805846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6346821805846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6346821805846e-05×40589641000000     		ar = 12533.3070591726m²