Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59122 / 45289
↖ ↑ ↗
← N 48.500228°
W 17.616577°		 ← 202.34 m → N 48.500228°
W 17.613831°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
N 48.498408°
W 17.616577°		 ← 202.35 m →
40 942 m²		 N 48.498408°
W 17.613831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451068878173828 y=0.345531463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451068878173828 × 217)
    floor (0.451068878173828 × 131072)
    floor (59122.5)     		tx = 59122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345531463623047 × 217)
    floor (0.345531463623047 × 131072)
    floor (45289.5)     		ty = 45289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59122 / 45289 ti = "17/59122/45289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59122/45289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59122 ÷ 217
    59122 ÷ 131072     		x = 0.451065063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45289 ÷ 217
    45289 ÷ 131072     		y = 0.345527648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451065063476562 × 2 - 1) × π
    -0.097869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30746727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345527648925781 × 2 - 1) × π
    0.308944702148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.970578406607277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30746727} λ = -0.30746727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970578406607277))-π/2
    2×atan(2.63947070521187)-π/2
    2×1.20864249323202-π/2
    2.41728498646404-1.57079632675     		φ = 0.84648866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30746727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.616577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84648866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.500228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59122 KachelY 45289 -0.30746727 0.84648866 -17.616577 48.500228
    Oben rechts KachelX + 1 59123 KachelY 45289 -0.30741934 0.84648866 -17.613831 48.500228
    Unten links KachelX 59122 KachelY + 1 45290 -0.30746727 0.84645690 -17.616577 48.498408
    Unten rechts KachelX + 1 59123 KachelY + 1 45290 -0.30741934 0.84645690 -17.613831 48.498408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84648866-0.84645690) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dl = 202.342960000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84648866-0.84645690) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dr = 202.342960000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30746727--0.30741934) × cos(0.84648866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66261707277214 × 6371000     		do = 202.338094454482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30746727--0.30741934) × cos(0.84645690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662640859355245 × 6371000     		du = 202.345357973786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84648866)-sin(0.84645690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66261707277214-0.662640859355245)×R²
    abs(-0.30741934--0.30746727)×2.37865831044237e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37865831044237e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37865831044237e-05×40589641000000     		ar = 40942.4238170197m²