Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59121 / 81831
↖ ↑ ↗
← S 40.795098°
W 17.619324°		 ← 231.22 m → S 40.795098°
W 17.616577°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
S 40.797177°
W 17.619324°		 ← 231.22 m →
53 459 m²		 S 40.797177°
W 17.616577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451061248779297 y=0.624324798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451061248779297 × 217)
    floor (0.451061248779297 × 131072)
    floor (59121.5)     		tx = 59121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624324798583984 × 217)
    floor (0.624324798583984 × 131072)
    floor (81831.5)     		ty = 81831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59121 / 81831 ti = "17/59121/81831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59121/81831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59121 ÷ 217
    59121 ÷ 131072     		x = 0.451057434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81831 ÷ 217
    81831 ÷ 131072     		y = 0.624320983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451057434082031 × 2 - 1) × π
    -0.0978851318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30751521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624320983886719 × 2 - 1) × π
    -0.248641967773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.781131779308815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30751521} λ = -0.30751521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781131779308815))-π/2
    2×atan(0.457887490347586)-π/2
    2×0.429393772751923-π/2
    0.858787545503846-1.57079632675     		φ = -0.71200878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30751521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.619324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71200878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.795098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59121 KachelY 81831 -0.30751521 -0.71200878 -17.619324 -40.795098
    Oben rechts KachelX + 1 59122 KachelY 81831 -0.30746727 -0.71200878 -17.616577 -40.795098
    Unten links KachelX 59121 KachelY + 1 81832 -0.30751521 -0.71204507 -17.619324 -40.797177
    Unten rechts KachelX + 1 59122 KachelY + 1 81832 -0.30746727 -0.71204507 -17.616577 -40.797177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71200878--0.71204507) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dl = 231.203589999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71200878--0.71204507) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dr = 231.203589999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30751521--0.30746727) × cos(-0.71200878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757050956159261 × 6371000     		do = 231.222848502498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30751521--0.30746727) × cos(-0.71204507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757027245377436 × 6371000     		du = 231.215606619413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71200878)-sin(-0.71204507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757050956159261-0.757027245377436)×R²
    abs(-0.30746727--0.30751521)×2.37107818249482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37107818249482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37107818249482e-05×40589641000000     		ar = 53458.7154949422m²