Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59118 / 85657
↖ ↑ ↗
← S 48.270397°
W 17.627563°		 ← 203.30 m → S 48.270397°
W 17.624817°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
S 48.272225°
W 17.627563°		 ← 203.29 m →
41 329 m²		 S 48.272225°
W 17.624817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451038360595703 y=0.653514862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451038360595703 × 217)
    floor (0.451038360595703 × 131072)
    floor (59118.5)     		tx = 59118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653514862060547 × 217)
    floor (0.653514862060547 × 131072)
    floor (85657.5)     		ty = 85657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59118 / 85657 ti = "17/59118/85657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59118/85657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59118 ÷ 217
    59118 ÷ 131072     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85657 ÷ 217
    85657 ÷ 131072     		y = 0.653511047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653511047363281 × 2 - 1) × π
    -0.307022094726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.96453835725515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96453835725515))-π/2
    2×atan(0.381159118472086)-π/2
    2×0.364159481213076-π/2
    0.728318962426151-1.57079632675     		φ = -0.84247736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84247736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.270397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59118 KachelY 85657 -0.30765902 -0.84247736 -17.627563 -48.270397
    Oben rechts KachelX + 1 59119 KachelY 85657 -0.30761108 -0.84247736 -17.624817 -48.270397
    Unten links KachelX 59118 KachelY + 1 85658 -0.30765902 -0.84250927 -17.627563 -48.272225
    Unten rechts KachelX + 1 59119 KachelY + 1 85658 -0.30761108 -0.84250927 -17.624817 -48.272225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84247736--0.84250927) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84247736--0.84250927) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30761108) × cos(-0.84247736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665616030435636 × 6371000     		do = 203.296268651769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30761108) × cos(-0.84250927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665592215843127 × 6371000     		du = 203.288995062229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84247736)-sin(-0.84250927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665616030435636-0.665592215843127)×R²
    abs(-0.30761108--0.30765902)×2.38145925088862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38145925088862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38145925088862e-05×40589641000000     		ar = 41329.109483437m²