Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59118 / 81829
↖ ↑ ↗
← S 40.790940°
W 17.627563°		 ← 231.24 m → S 40.790940°
W 17.624817°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
S 40.793019°
W 17.627563°		 ← 231.23 m →
53 462 m²		 S 40.793019°
W 17.624817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451038360595703 y=0.624309539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451038360595703 × 217)
    floor (0.451038360595703 × 131072)
    floor (59118.5)     		tx = 59118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624309539794922 × 217)
    floor (0.624309539794922 × 131072)
    floor (81829.5)     		ty = 81829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59118 / 81829 ti = "17/59118/81829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59118/81829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59118 ÷ 217
    59118 ÷ 131072     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81829 ÷ 217
    81829 ÷ 131072     		y = 0.624305725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624305725097656 × 2 - 1) × π
    -0.248611450195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.781035905509575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781035905509575))-π/2
    2×atan(0.457931391865379)-π/2
    2×0.429430064564186-π/2
    0.858860129128371-1.57079632675     		φ = -0.71193620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71193620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.790940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59118 KachelY 81829 -0.30765902 -0.71193620 -17.627563 -40.790940
    Oben rechts KachelX + 1 59119 KachelY 81829 -0.30761108 -0.71193620 -17.624817 -40.790940
    Unten links KachelX 59118 KachelY + 1 81830 -0.30765902 -0.71197249 -17.627563 -40.793019
    Unten rechts KachelX + 1 59119 KachelY + 1 81830 -0.30761108 -0.71197249 -17.624817 -40.793019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71193620--0.71197249) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dl = 231.203589999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71193620--0.71197249) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dr = 231.203589999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30761108) × cos(-0.71193620) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.757098374731853 × 6371000     		do = 231.23733135539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30761108) × cos(-0.71197249) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.757074665944077 × 6371000     		du = 231.230090081339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71193620)-sin(-0.71197249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757098374731853-0.757074665944077)×R²
    abs(-0.30761108--0.30765902)×2.37087877758002e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37087877758002e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37087877758002e-05×40589641000000     		ar = 53462.0640530345m²