Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59117 / 85655
↖ ↑ ↗
← S 48.266741°
W 17.630310°		 ← 203.31 m → S 48.266741°
W 17.627563°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
S 48.268569°
W 17.630310°		 ← 203.30 m →
41 332 m²		 S 48.268569°
W 17.627563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451030731201172 y=0.653499603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451030731201172 × 217)
    floor (0.451030731201172 × 131072)
    floor (59117.5)     		tx = 59117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653499603271484 × 217)
    floor (0.653499603271484 × 131072)
    floor (85655.5)     		ty = 85655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59117 / 85655 ti = "17/59117/85655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59117/85655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59117 ÷ 217
    59117 ÷ 131072     		x = 0.451026916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85655 ÷ 217
    85655 ÷ 131072     		y = 0.653495788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451026916503906 × 2 - 1) × π
    -0.0979461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30770696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653495788574219 × 2 - 1) × π
    -0.306991577148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.96444248345591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30770696} λ = -0.30770696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96444248345591))-π/2
    2×atan(0.381195663396711)-π/2
    2×0.364191389923256-π/2
    0.728382779846512-1.57079632675     		φ = -0.84241355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30770696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.630310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84241355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.266741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59117 KachelY 85655 -0.30770696 -0.84241355 -17.630310 -48.266741
    Oben rechts KachelX + 1 59118 KachelY 85655 -0.30765902 -0.84241355 -17.627563 -48.266741
    Unten links KachelX 59117 KachelY + 1 85656 -0.30770696 -0.84244546 -17.630310 -48.268569
    Unten rechts KachelX + 1 59118 KachelY + 1 85656 -0.30765902 -0.84244546 -17.627563 -48.268569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84241355--0.84244546) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84241355--0.84244546) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30770696--0.30765902) × cos(-0.84241355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665663650124823 × 6371000     		do = 203.310812930342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30770696--0.30765902) × cos(-0.84244546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665639836887651 × 6371000     		du = 203.303539754757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84241355)-sin(-0.84244546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665663650124823-0.665639836887651)×R²
    abs(-0.30765902--0.30770696)×2.38132371724875e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38132371724875e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38132371724875e-05×40589641000000     		ar = 41332.0663571544m²