Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59117 / 39717
↖ ↑ ↗
← N 57.649810°
W 17.630310°		 ← 163.43 m → N 57.649810°
W 17.627563°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
N 57.648340°
W 17.630310°		 ← 163.44 m →
26 708 m²		 N 57.648340°
W 17.627563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451030731201172 y=0.303020477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451030731201172 × 217)
    floor (0.451030731201172 × 131072)
    floor (59117.5)     		tx = 59117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303020477294922 × 217)
    floor (0.303020477294922 × 131072)
    floor (39717.5)     		ty = 39717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59117 / 39717 ti = "17/59117/39717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59117/39717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59117 ÷ 217
    59117 ÷ 131072     		x = 0.451026916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39717 ÷ 217
    39717 ÷ 131072     		y = 0.303016662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451026916503906 × 2 - 1) × π
    -0.0979461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30770696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303016662597656 × 2 - 1) × π
    0.393966674804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.23768281129023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30770696} λ = -0.30770696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23768281129023))-π/2
    2×atan(3.44761542631769)-π/2
    2×1.28848766188286-π/2
    2.57697532376572-1.57079632675     		φ = 1.00617900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30770696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.630310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00617900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.649810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59117 KachelY 39717 -0.30770696 1.00617900 -17.630310 57.649810
    Oben rechts KachelX + 1 59118 KachelY 39717 -0.30765902 1.00617900 -17.627563 57.649810
    Unten links KachelX 59117 KachelY + 1 39718 -0.30770696 1.00615335 -17.630310 57.648340
    Unten rechts KachelX + 1 59118 KachelY + 1 39718 -0.30765902 1.00615335 -17.627563 57.648340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00617900-1.00615335) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dl = 163.416149999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00617900-1.00615335) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dr = 163.416149999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30770696--0.30765902) × cos(1.00617900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.535092575389534 × 6371000     		do = 163.431045806747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30770696--0.30765902) × cos(1.00615335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.535114244164932 × 6371000     		du = 163.437664008508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00617900)-sin(1.00615335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535092575389534-0.535114244164932)×R²
    abs(-0.30765902--0.30770696)×2.16687753975542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16687753975542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16687753975542e-05×40589641000000     		ar = 26707.8130580749m²