Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59116 / 55676
↖ ↑ ↗
← N 26.125850°
W 17.633057°		 ← 274.22 m → N 26.125850°
W 17.630310°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
N 26.123384°
W 17.633057°		 ← 274.23 m →
75 194 m²		 N 26.123384°
W 17.630310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451023101806641 y=0.424777984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451023101806641 × 217)
    floor (0.451023101806641 × 131072)
    floor (59116.5)     		tx = 59116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424777984619141 × 217)
    floor (0.424777984619141 × 131072)
    floor (55676.5)     		ty = 55676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59116 / 55676 ti = "17/59116/55676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59116/55676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59116 ÷ 217
    59116 ÷ 131072     		x = 0.451019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55676 ÷ 217
    55676 ÷ 131072     		y = 0.424774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451019287109375 × 2 - 1) × π
    -0.09796142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30775490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424774169921875 × 2 - 1) × π
    0.15045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472657830253754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30775490} λ = -0.30775490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472657830253754))-π/2
    2×atan(1.60425236242874)-π/2
    2×1.01338921620283-π/2
    2.02677843240566-1.57079632675     		φ = 0.45598211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30775490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.633057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45598211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.125850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59116 KachelY 55676 -0.30775490 0.45598211 -17.633057 26.125850
    Oben rechts KachelX + 1 59117 KachelY 55676 -0.30770696 0.45598211 -17.630310 26.125850
    Unten links KachelX 59116 KachelY + 1 55677 -0.30775490 0.45593907 -17.633057 26.123384
    Unten rechts KachelX + 1 59117 KachelY + 1 55677 -0.30770696 0.45593907 -17.630310 26.123384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45598211-0.45593907) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45598211-0.45593907) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30775490--0.30770696) × cos(0.45598211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897828994710597 × 6371000     		do = 274.220085103078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30775490--0.30770696) × cos(0.45593907) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897847946297368 × 6371000     		du = 274.225873405492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45598211)-sin(0.45593907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897828994710597-0.897847946297368)×R²
    abs(-0.30770696--0.30775490)×1.89515867710099e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89515867710099e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89515867710099e-05×40589641000000     		ar = 75194.0908312724m²