Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59111 / 82565
↖ ↑ ↗
← S 42.303722°
W 17.646790°		 ← 225.89 m → S 42.303722°
W 17.644043°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.305753°
W 17.646790°		 ← 225.88 m →
51 017 m²		 S 42.305753°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450984954833984 y=0.629924774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450984954833984 × 217)
    floor (0.450984954833984 × 131072)
    floor (59111.5)     		tx = 59111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629924774169922 × 217)
    floor (0.629924774169922 × 131072)
    floor (82565.5)     		ty = 82565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59111 / 82565 ti = "17/59111/82565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59111/82565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59111 ÷ 217
    59111 ÷ 131072     		x = 0.450981140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82565 ÷ 217
    82565 ÷ 131072     		y = 0.629920959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450981140136719 × 2 - 1) × π
    -0.0980377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30799458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629920959472656 × 2 - 1) × π
    -0.259841918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.816317463629936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30799458} λ = -0.30799458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816317463629936))-π/2
    2×atan(0.442056550124574)-π/2
    2×0.416228548663718-π/2
    0.832457097327436-1.57079632675     		φ = -0.73833923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30799458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.646790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73833923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.303722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59111 KachelY 82565 -0.30799458 -0.73833923 -17.646790 -42.303722
    Oben rechts KachelX + 1 59112 KachelY 82565 -0.30794664 -0.73833923 -17.644043 -42.303722
    Unten links KachelX 59111 KachelY + 1 82566 -0.30799458 -0.73837468 -17.646790 -42.305753
    Unten rechts KachelX + 1 59112 KachelY + 1 82566 -0.30794664 -0.73837468 -17.644043 -42.305753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73833923--0.73837468) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73833923--0.73837468) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30799458--0.30794664) × cos(-0.73833923) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739587376943926 × 6371000     		do = 225.889021897871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30799458--0.30794664) × cos(-0.73837468) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739563516482505 × 6371000     		du = 225.881734298785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73833923)-sin(-0.73837468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739587376943926-0.739563516482505)×R²
    abs(-0.30794664--0.30799458)×2.38604614211102e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38604614211102e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38604614211102e-05×40589641000000     		ar = 51016.6531252427m²