Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59111 / 35235
↖ ↑ ↗
← N 63.662105°
W 17.646790°		 ← 135.51 m → N 63.662105°
W 17.644043°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
N 63.660886°
W 17.646790°		 ← 135.51 m →
18 363 m²		 N 63.660886°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450984954833984 y=0.268825531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450984954833984 × 217)
    floor (0.450984954833984 × 131072)
    floor (59111.5)     		tx = 59111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268825531005859 × 217)
    floor (0.268825531005859 × 131072)
    floor (35235.5)     		ty = 35235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59111 / 35235 ti = "17/59111/35235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59111/35235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59111 ÷ 217
    59111 ÷ 131072     		x = 0.450981140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35235 ÷ 217
    35235 ÷ 131072     		y = 0.268821716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450981140136719 × 2 - 1) × π
    -0.0980377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30799458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268821716308594 × 2 - 1) × π
    0.462356567382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.45253599538732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30799458} λ = -0.30799458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45253599538732))-π/2
    2×atan(4.27393947413639)-π/2
    2×1.34095483296723-π/2
    2.68190966593446-1.57079632675     		φ = 1.11111334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30799458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.646790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11111334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.662105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59111 KachelY 35235 -0.30799458 1.11111334 -17.646790 63.662105
    Oben rechts KachelX + 1 59112 KachelY 35235 -0.30794664 1.11111334 -17.644043 63.662105
    Unten links KachelX 59111 KachelY + 1 35236 -0.30799458 1.11109207 -17.646790 63.660886
    Unten rechts KachelX + 1 59112 KachelY + 1 35236 -0.30794664 1.11109207 -17.644043 63.660886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11111334-1.11109207) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11111334-1.11109207) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30799458--0.30794664) × cos(1.11111334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443664024188287 × 6371000     		do = 135.506412899154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30799458--0.30794664) × cos(1.11109207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443683086117076 × 6371000     		du = 135.51223490286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11111334)-sin(1.11109207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443664024188287-0.443683086117076)×R²
    abs(-0.30794664--0.30799458)×1.90619287882554e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90619287882554e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90619287882554e-05×40589641000000     		ar = 18363.0270284157m²