Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59109 / 81685
↖ ↑ ↗
← S 40.490826°
W 17.652282°		 ← 232.23 m → S 40.490826°
W 17.649536°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
S 40.492915°
W 17.652282°		 ← 232.22 m →
53 943 m²		 S 40.492915°
W 17.649536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450969696044922 y=0.623210906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450969696044922 × 217)
    floor (0.450969696044922 × 131072)
    floor (59109.5)     		tx = 59109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623210906982422 × 217)
    floor (0.623210906982422 × 131072)
    floor (81685.5)     		ty = 81685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59109 / 81685 ti = "17/59109/81685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59109/81685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59109 ÷ 217
    59109 ÷ 131072     		x = 0.450965881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81685 ÷ 217
    81685 ÷ 131072     		y = 0.623207092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450965881347656 × 2 - 1) × π
    -0.0980682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30809045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623207092285156 × 2 - 1) × π
    -0.246414184570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.774132991964287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30809045} λ = -0.30809045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774132991964287))-π/2
    2×atan(0.461103388085421)-π/2
    2×0.432049045891693-π/2
    0.864098091783386-1.57079632675     		φ = -0.70669823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30809045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.652282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70669823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.490826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59109 KachelY 81685 -0.30809045 -0.70669823 -17.652282 -40.490826
    Oben rechts KachelX + 1 59110 KachelY 81685 -0.30804252 -0.70669823 -17.649536 -40.490826
    Unten links KachelX 59109 KachelY + 1 81686 -0.30809045 -0.70673469 -17.652282 -40.492915
    Unten rechts KachelX + 1 59110 KachelY + 1 81686 -0.30804252 -0.70673469 -17.649536 -40.492915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70669823--0.70673469) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70669823--0.70673469) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30809045--0.30804252) × cos(-0.70669823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.760509943562773 × 6371000     		do = 232.230860201656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30809045--0.30804252) × cos(-0.70673469) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.760486268620904 × 6371000     		du = 232.223630773347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70669823)-sin(-0.70673469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760509943562773-0.760486268620904)×R²
    abs(-0.30804252--0.30809045)×2.36749418687232e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36749418687232e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36749418687232e-05×40589641000000     		ar = 53943.2912212447m²