Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59109 / 26910
↖ ↑ ↗
← N 72.156573°
W 17.652282°		 ← 93.57 m → N 72.156573°
W 17.649536°		 →
↑
93.59 m
↓
↑
93.59 m
↓
N 72.155731°
W 17.652282°		 ← 93.57 m →
8 757 m²		 N 72.155731°
W 17.649536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450969696044922 y=0.205310821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450969696044922 × 217)
    floor (0.450969696044922 × 131072)
    floor (59109.5)     		tx = 59109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205310821533203 × 217)
    floor (0.205310821533203 × 131072)
    floor (26910.5)     		ty = 26910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59109 / 26910 ti = "17/59109/26910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59109/26910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59109 ÷ 217
    59109 ÷ 131072     		x = 0.450965881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26910 ÷ 217
    26910 ÷ 131072     		y = 0.205307006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450965881347656 × 2 - 1) × π
    -0.0980682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30809045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205307006835938 × 2 - 1) × π
    0.589385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85161068472429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30809045} λ = -0.30809045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85161068472429))-π/2
    2×atan(6.37007144084379)-π/2
    2×1.41508305004958-π/2
    2.83016610009916-1.57079632675     		φ = 1.25936977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30809045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.652282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25936977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.156573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59109 KachelY 26910 -0.30809045 1.25936977 -17.652282 72.156573
    Oben rechts KachelX + 1 59110 KachelY 26910 -0.30804252 1.25936977 -17.649536 72.156573
    Unten links KachelX 59109 KachelY + 1 26911 -0.30809045 1.25935508 -17.652282 72.155731
    Unten rechts KachelX + 1 59110 KachelY + 1 26911 -0.30804252 1.25935508 -17.649536 72.155731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25936977-1.25935508) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dl = 93.5899899998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25936977-1.25935508) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dr = 93.5899899998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30809045--0.30804252) × cos(1.25936977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.306416883500864 × 6371000     		do = 93.5680815721547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30809045--0.30804252) × cos(1.25935508) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.306430866840865 × 6371000     		du = 93.5723515532436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25936977)-sin(1.25935508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306416883500864-0.306430866840865)×R²
    abs(-0.30804252--0.30809045)×1.39833400012446e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39833400012446e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39833400012446e-05×40589641000000     		ar = 8757.23563259848m²