Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59108 / 81828
↖ ↑ ↗
← S 40.788860°
W 17.655029°		 ← 231.24 m → S 40.788860°
W 17.652282°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.790940°
W 17.655029°		 ← 231.24 m →
53 478 m²		 S 40.790940°
W 17.652282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450962066650391 y=0.624301910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450962066650391 × 217)
    floor (0.450962066650391 × 131072)
    floor (59108.5)     		tx = 59108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624301910400391 × 217)
    floor (0.624301910400391 × 131072)
    floor (81828.5)     		ty = 81828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59108 / 81828 ti = "17/59108/81828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59108/81828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59108 ÷ 217
    59108 ÷ 131072     		x = 0.450958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81828 ÷ 217
    81828 ÷ 131072     		y = 0.624298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.09808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30813839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.24859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.780987968609955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30813839} λ = -0.30813839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780987968609955))-π/2
    2×atan(0.457953344202703)-π/2
    2×0.429448211322766-π/2
    0.858896422645531-1.57079632675     		φ = -0.71189990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30813839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71189990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.788860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59108 KachelY 81828 -0.30813839 -0.71189990 -17.655029 -40.788860
    Oben rechts KachelX + 1 59109 KachelY 81828 -0.30809045 -0.71189990 -17.652282 -40.788860
    Unten links KachelX 59108 KachelY + 1 81829 -0.30813839 -0.71193620 -17.655029 -40.790940
    Unten rechts KachelX + 1 59109 KachelY + 1 81829 -0.30809045 -0.71193620 -17.652282 -40.790940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71189990--0.71193620) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71189990--0.71193620) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30813839--0.30809045) × cos(-0.71189990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757122089055292 × 6371000     		do = 231.244574319907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30813839--0.30809045) × cos(-0.71193620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757098374731853 × 6371000     		du = 231.237331355122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71189990)-sin(-0.71193620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757122089055292-0.757098374731853)×R²
    abs(-0.30809045--0.30813839)×2.37143234386172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37143234386172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37143234386172e-05×40589641000000     		ar = 53478.4708180335m²