Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59108 / 26907
↖ ↑ ↗
← N 72.159098°
W 17.655029°		 ← 93.57 m → N 72.159098°
W 17.652282°		 →
↑
93.59 m
↓
↑
93.59 m
↓
N 72.158256°
W 17.655029°		 ← 93.58 m →
8 758 m²		 N 72.158256°
W 17.652282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450962066650391 y=0.205287933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450962066650391 × 217)
    floor (0.450962066650391 × 131072)
    floor (59108.5)     		tx = 59108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205287933349609 × 217)
    floor (0.205287933349609 × 131072)
    floor (26907.5)     		ty = 26907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59108 / 26907 ti = "17/59108/26907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59108/26907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59108 ÷ 217
    59108 ÷ 131072     		x = 0.450958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26907 ÷ 217
    26907 ÷ 131072     		y = 0.205284118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.09808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30813839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205284118652344 × 2 - 1) × π
    0.589431762695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.85175449542315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30813839} λ = -0.30813839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85175449542315))-π/2
    2×atan(6.37098759114402)-π/2
    2×1.41510508155441-π/2
    2.83021016310883-1.57079632675     		φ = 1.25941384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30813839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25941384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.159098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59108 KachelY 26907 -0.30813839 1.25941384 -17.655029 72.159098
    Oben rechts KachelX + 1 59109 KachelY 26907 -0.30809045 1.25941384 -17.652282 72.159098
    Unten links KachelX 59108 KachelY + 1 26908 -0.30813839 1.25939915 -17.655029 72.158256
    Unten rechts KachelX + 1 59109 KachelY + 1 26908 -0.30809045 1.25939915 -17.652282 72.158256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25941384-1.25939915) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dl = 93.5899899998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25941384-1.25939915) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dr = 93.5899899998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30813839--0.30809045) × cos(1.25941384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306374933084131 × 6371000     		do = 93.5747906546099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30813839--0.30809045) × cos(1.25939915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306388916622494 × 6371000     		du = 93.5790615871622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25941384)-sin(1.25939915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306374933084131-0.306388916622494)×R²
    abs(-0.30809045--0.30813839)×1.3983538362905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3983538362905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3983538362905e-05×40589641000000     		ar = 8757.86358008764m²