Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59108 / 26906
↖ ↑ ↗
← N 72.159939°
W 17.655029°		 ← 93.57 m → N 72.159939°
W 17.652282°		 →
↑
93.53 m
↓
↑
93.53 m
↓
N 72.159098°
W 17.655029°		 ← 93.57 m →
8 752 m²		 N 72.159098°
W 17.652282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450962066650391 y=0.205280303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450962066650391 × 217)
    floor (0.450962066650391 × 131072)
    floor (59108.5)     		tx = 59108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205280303955078 × 217)
    floor (0.205280303955078 × 131072)
    floor (26906.5)     		ty = 26906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59108 / 26906 ti = "17/59108/26906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59108/26906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59108 ÷ 217
    59108 ÷ 131072     		x = 0.450958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26906 ÷ 217
    26906 ÷ 131072     		y = 0.205276489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.09808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30813839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205276489257812 × 2 - 1) × π
    0.589447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85180243232277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30813839} λ = -0.30813839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85180243232277))-π/2
    2×atan(6.37129300385686)-π/2
    2×1.41511242471916-π/2
    2.83022484943832-1.57079632675     		φ = 1.25942852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30813839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25942852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.159939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59108 KachelY 26906 -0.30813839 1.25942852 -17.655029 72.159939
    Oben rechts KachelX + 1 59109 KachelY 26906 -0.30809045 1.25942852 -17.652282 72.159939
    Unten links KachelX 59108 KachelY + 1 26907 -0.30813839 1.25941384 -17.655029 72.159098
    Unten rechts KachelX + 1 59109 KachelY + 1 26907 -0.30809045 1.25941384 -17.652282 72.159098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25942852-1.25941384) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dl = 93.5262800002845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25942852-1.25941384) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dr = 93.5262800002845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30813839--0.30809045) × cos(1.25942852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306360958998808 × 6371000     		do = 93.5705226092592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30813839--0.30809045) × cos(1.25941384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306374933084131 × 6371000     		du = 93.5747906546099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25942852)-sin(1.25941384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306360958998808-0.306374933084131)×R²
    abs(-0.30809045--0.30813839)×1.39740853232762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39740853232762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39740853232762e-05×40589641000000     		ar = 8751.50248458098m²