Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59107 / 35367
↖ ↑ ↗
← N 63.500798°
W 17.657776°		 ← 136.28 m → N 63.500798°
W 17.655029°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
N 63.499573°
W 17.657776°		 ← 136.28 m →
18 572 m²		 N 63.499573°
W 17.655029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450954437255859 y=0.269832611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450954437255859 × 217)
    floor (0.450954437255859 × 131072)
    floor (59107.5)     		tx = 59107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269832611083984 × 217)
    floor (0.269832611083984 × 131072)
    floor (35367.5)     		ty = 35367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59107 / 35367 ti = "17/59107/35367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59107/35367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59107 ÷ 217
    59107 ÷ 131072     		x = 0.450950622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35367 ÷ 217
    35367 ÷ 131072     		y = 0.269828796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450950622558594 × 2 - 1) × π
    -0.0980987548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30818633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269828796386719 × 2 - 1) × π
    0.460342407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.44620832463747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30818633} λ = -0.30818633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44620832463747))-π/2
    2×atan(4.24698077517554)-π/2
    2×1.3395471673485-π/2
    2.67909433469701-1.57079632675     		φ = 1.10829801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30818633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.657776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10829801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.500798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59107 KachelY 35367 -0.30818633 1.10829801 -17.657776 63.500798
    Oben rechts KachelX + 1 59108 KachelY 35367 -0.30813839 1.10829801 -17.655029 63.500798
    Unten links KachelX 59107 KachelY + 1 35368 -0.30818633 1.10827662 -17.657776 63.499573
    Unten rechts KachelX + 1 59108 KachelY + 1 35368 -0.30813839 1.10827662 -17.655029 63.499573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10829801-1.10827662) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dl = 136.275689999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10829801-1.10827662) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dr = 136.275689999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30818633--0.30813839) × cos(1.10829801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446185342170834 × 6371000     		do = 136.276488309749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30818633--0.30813839) × cos(1.10827662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446204484847751 × 6371000     		du = 136.282334976012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10829801)-sin(1.10827662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446185342170834-0.446204484847751)×R²
    abs(-0.30813839--0.30818633)×1.914267691705e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.914267691705e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.914267691705e-05×40589641000000     		ar = 18571.5708550583m²