Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59101 / 30893
↖ ↑ ↗
← N 68.482948°
W 17.674255°		 ← 112.02 m → N 68.482948°
W 17.671509°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
N 68.481941°
W 17.674255°		 ← 112.03 m →
12 547 m²		 N 68.481941°
W 17.671509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450908660888672 y=0.235698699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450908660888672 × 217)
    floor (0.450908660888672 × 131072)
    floor (59101.5)     		tx = 59101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235698699951172 × 217)
    floor (0.235698699951172 × 131072)
    floor (30893.5)     		ty = 30893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59101 / 30893 ti = "17/59101/30893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59101/30893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59101 ÷ 217
    59101 ÷ 131072     		x = 0.450904846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30893 ÷ 217
    30893 ÷ 131072     		y = 0.235694885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450904846191406 × 2 - 1) × π
    -0.0981903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30847395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235694885253906 × 2 - 1) × π
    0.528610229492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.66067801353761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30847395} λ = -0.30847395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66067801353761))-π/2
    2×atan(5.26287793752996)-π/2
    2×1.38302462545644-π/2
    2.76604925091287-1.57079632675     		φ = 1.19525292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30847395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.674255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19525292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.482948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59101 KachelY 30893 -0.30847395 1.19525292 -17.674255 68.482948
    Oben rechts KachelX + 1 59102 KachelY 30893 -0.30842601 1.19525292 -17.671509 68.482948
    Unten links KachelX 59101 KachelY + 1 30894 -0.30847395 1.19523534 -17.674255 68.481941
    Unten rechts KachelX + 1 59102 KachelY + 1 30894 -0.30842601 1.19523534 -17.671509 68.481941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19525292-1.19523534) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19525292-1.19523534) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30847395--0.30842601) × cos(1.19525292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.366778119147133 × 6371000     		do = 112.023478456378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30847395--0.30842601) × cos(1.19523534) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.366794473912998 × 6371000     		du = 112.028473622844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19525292)-sin(1.19523534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366778119147133-0.366794473912998)×R²
    abs(-0.30842601--0.30847395)×1.63547658647567e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.63547658647567e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.63547658647567e-05×40589641000000     		ar = 12547.1535333343m²